Chapitre 0

La lumière

Ce qu'est la lumière, à quelle vitesse elle va, et pourquoi on peut la modéliser par des rayons.

Chapter 0

Light

What light is, how fast it travels, and why we can model it with rays.

Maturité

Une onde électromagnétique

La lumière est une onde électromagnétique : un champ électrique et un champ magnétique qui oscillent et se propagent, même dans le vide. Dans le vide, sa vitesse est

\[ c = 299\,792\,458\ \text{m/s} \]

Cette valeur est exacte : depuis 1983, le mètre est défini à partir de \(c\). Longueur d'onde et fréquence sont liées par

\[ c = \lambda f \]\[ \Longleftrightarrow\quad f = \frac{c}{\lambda} \]

L'œil humain perçoit environ de 380 nm (violet) à 780 nm (rouge). Ce n'est qu'une petite fenêtre du spectre électromagnétique.

Maturité

Propagation rectiligne et rayon lumineux

Dans un milieu homogène et transparent, la lumière se propage en ligne droite. On la représente par des rayons : des droites orientées dans le sens de propagation. C'est le modèle de l'optique géométrique.

Il explique les ombres. Une source ponctuelle donne une ombre nette. Une source étendue donne une ombre (aucun point de la source n'est visible) entourée d'une pénombre (une partie de la source est visible). Les éclipses en sont l'exemple à grande échelle.

Le modèle du rayon cesse de marcher quand les obstacles ou ouvertures approchent la longueur d'onde : c'est la diffraction (chapitre 5).

Maturité

Vitesse dans la matière : l'indice

Dans un milieu transparent, la lumière va moins vite. L'indice de réfraction compare les deux vitesses :

\[ n = \frac{c}{v} \geq 1 \]

Milieu (à 589 nm)	n
Air (conditions normales)	1,0003
Eau	1,333
Verre crown (BK7)	1,517
Verre flint dense	≈ 1,7
Diamant	2,417

589 nm est la raie jaune du sodium, longueur d'onde de référence des tables d'indices.

Maturité

Mesurer c : deux jalons

Rømer (1676) remarque que les éclipses d'Io, satellite de Jupiter, prennent de l'avance ou du retard selon que la Terre se rapproche ou s'éloigne de Jupiter. La lumière met donc un temps fini à traverser l'orbite terrestre.

Fizeau (1849) envoie un faisceau à travers une roue dentée vers un miroir distant de plusieurs kilomètres. À une certaine vitesse de rotation, le retour est bloqué par la dent suivante. Il obtient une valeur à environ 5 % de la valeur actuelle.

OS / OC

Le photon

La lumière échange son énergie par paquets, les photons. L'énergie d'un photon vaut

\[ E = h f = \frac{h c}{\lambda} \]\[ h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ \text{J·s} \]

C'est ce qu'Einstein utilise en 1905 pour expliquer l'effet photoélectrique. Un photon visible porte entre 1,6 et 3,3 eV environ. La lumière se comporte comme une onde quand elle se propage et interfère, comme des particules quand elle est absorbée ou émise.

OS / OC

Dispersion

L'indice dépend de la longueur d'onde. Dans le verre, le bleu va moins vite que le rouge, donc il est plus dévié. C'est la dispersion, à l'origine des couleurs d'un prisme et de l'arc-en-ciel. Une bonne approximation est la loi de Cauchy :

\[ n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^{2}} \]

Le banc libre utilise cette loi : chaque milieu a un indice à 589 nm et un coefficient \(B\) réglable.

Université

Depuis les équations de Maxwell

Dans le vide, les équations de Maxwell donnent une équation d'onde pour \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) :

\[ \nabla^{2}\vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} \]\[ \Longrightarrow\quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \]

Une onde plane monochromatique s'écrit \(\vec{E} = \vec{E}_0 \cos(kx - \omega t)\), avec \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) et \(\omega = 2\pi f\). Dans un diélectrique non magnétique, \(n = \sqrt{\varepsilon_r(\omega)}\). La dépendance en \(\omega\) est la dispersion. L'intensité est proportionnelle à \(\lvert\vec{E}_0\rvert^{2}\).

Dans un milieu dispersif, il faut distinguer vitesse de phase et vitesse de groupe, qui transporte l'énergie :

\[ v_\varphi = \frac{\omega}{k} \]\[ v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \]

Maturité

Un fil rouge : le principe de Fermat

Toute l'optique géométrique tient dans une phrase de Fermat (1662) : la lumière suit le chemin dont la durée est stationnaire, le plus souvent minimale. On mesure cette durée par le chemin optique :

\[ L = \sum_i n_i\, \ell_i = c\, t \]

Propagation rectiligne, réflexion, réfraction et foyer d'une lentille en découlent. On le vérifie au chapitre 1 avec la simulation « Le chemin le plus rapide ».

Matura

An electromagnetic wave

Light is an electromagnetic wave: an electric field and a magnetic field that oscillate and propagate, even in vacuum. In vacuum its speed is

\[ c = 299\,792\,458\ \text{m/s} \]

This value is exact: since 1983 the metre has been defined from \(c\). Wavelength and frequency are related by

\[ c = \lambda f \]\[ \Longleftrightarrow\quad f = \frac{c}{\lambda} \]

The human eye sees from about 380 nm (violet) to 780 nm (red). This is only a narrow window of the electromagnetic spectrum.

Matura

Rectilinear propagation and light rays

In a homogeneous, transparent medium, light travels in straight lines. We represent it with rays: straight lines pointing in the direction of propagation. This is the model of geometrical optics.

It explains shadows. A point source casts a sharp shadow. An extended source casts an umbra (no point of the source is visible) surrounded by a penumbra (part of the source is visible). Eclipses are the large-scale example.

The ray model breaks down when obstacles or openings approach the wavelength: this is diffraction (chapter 5).

Matura

Speed in matter: the refractive index

In a transparent medium, light is slower. The refractive index compares the two speeds:

\[ n = \frac{c}{v} \geq 1 \]

Medium (at 589 nm)	n
Air (standard conditions)	1.0003
Water	1.333
Crown glass (BK7)	1.517
Dense flint glass	≈ 1.7
Diamond	2.417

589 nm is the yellow sodium line, the reference wavelength of index tables.

Matura

Measuring c: two milestones

Rømer (1676) noticed that the eclipses of Io, a moon of Jupiter, came early or late depending on whether the Earth was moving towards or away from Jupiter. Light therefore takes a finite time to cross the Earth's orbit.

Fizeau (1849) sent a beam through a toothed wheel to a mirror several kilometres away. At a certain rotation speed, the returning light was blocked by the next tooth. His value was within about 5% of today's.

Advanced

The photon

Light exchanges energy in packets, photons. The energy of one photon is

\[ E = h f = \frac{h c}{\lambda} \]\[ h = 6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s} \]

Einstein used this in 1905 to explain the photoelectric effect. A visible photon carries roughly 1.6 to 3.3 eV. Light behaves like a wave when it propagates and interferes, and like particles when it is absorbed or emitted.

Advanced

Dispersion

The refractive index depends on wavelength. In glass, blue light is slower than red, so it is bent more. This is dispersion, which gives the colours of a prism and of the rainbow. A good approximation is Cauchy's law:

\[ n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^{2}} \]

The free bench uses this law: each medium has an index at 589 nm and an adjustable coefficient \(B\).

University

From Maxwell's equations

In vacuum, Maxwell's equations give a wave equation for \(\vec{E}\) and \(\vec{B}\):

\[ \nabla^{2}\vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} \]\[ \Longrightarrow\quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \]

A monochromatic plane wave reads \(\vec{E} = \vec{E}_0 \cos(kx - \omega t)\), with \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) and \(\omega = 2\pi f\). In a non-magnetic dielectric, \(n = \sqrt{\varepsilon_r(\omega)}\). The dependence on \(\omega\) is dispersion. Intensity is proportional to \(\lvert\vec{E}_0\rvert^{2}\).

In a dispersive medium, phase velocity and group velocity (which carries the energy) differ:

\[ v_\varphi = \frac{\omega}{k} \]\[ v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} \]

Matura

A common thread: Fermat's principle

All of geometrical optics fits in one sentence by Fermat (1662): light follows the path whose travel time is stationary, usually a minimum. This time is measured by the optical path length:

\[ L = \sum_i n_i\, \ell_i = c\, t \]

Straight-line propagation, reflection, refraction and the focus of a lens all follow from it. We check it in chapter 1 with "The fastest path" simulation.

Primaire

D'où vient la lumière ?

Certains objets fabriquent leur lumière : le Soleil, une lampe, une bougie, un écran. On les appelle des sources de lumière.

Les autres objets renvoient seulement la lumière qu'ils reçoivent. La Lune ne brille pas toute seule : elle est éclairée par le Soleil.

Primaire

La lumière va tout droit

La lumière avance en ligne droite. On la dessine avec un trait et une flèche : c'est un rayon.

Quand un objet bloque la lumière, il fait une ombre derrière lui. Si tu rapproches la lampe de l'objet, l'ombre devient plus grande. Essaie avec la simulation « Ombre et pénombre » plus bas.

Primaire

La lumière va très vite

En une seconde, la lumière parcourt environ 300 000 km. C'est presque 8 fois le tour de la Terre !

La lumière du Soleil met quand même environ 8 minutes pour arriver jusqu'à nous, parce que le Soleil est très loin.

Attention : ne regarde jamais le Soleil directement, même avec des lunettes de soleil.

Primaire

Expérience : la lumière en ligne droite

Perce un petit trou au même endroit dans trois cartons.
Aligne-les debout, l'un derrière l'autre, devant une lampe de poche.
Regarde par le dernier trou : tu vois la lampe seulement si les trois trous sont bien alignés.

Pourquoi ? Parce que la lumière ne peut pas faire de virage.

Primaire

Transparent, translucide, opaque

Transparent : la lumière passe et on voit à travers (vitre, eau claire).
Translucide : la lumière passe, mais on ne voit pas net à travers (papier calque, verre dépoli).
Opaque : la lumière ne passe pas (bois, carton, ton corps). Seuls les objets opaques font une ombre bien noire.

Primaire

Pourquoi une fraise est rouge ?

La lumière du Soleil contient toutes les couleurs. La fraise avale (absorbe) presque toutes les couleurs et renvoie surtout le rouge. C'est ce rouge qui arrive dans ton œil.

Un objet blanc renvoie toutes les couleurs. Un objet noir les avale presque toutes : c'est pour cela qu'un t-shirt noir chauffe au soleil.

Primaire

Les éclipses : des ombres géantes

Quand la Lune passe entre le Soleil et la Terre, son ombre tombe sur la Terre : c'est une éclipse de Soleil. Quand la Terre passe entre le Soleil et la Lune, l'ombre de la Terre cache la Lune : c'est une éclipse de Lune.

Primaire

La lumière est pressée

Imagine une course : la lumière choisit toujours le chemin qui lui prend le moins de temps. Dans l'air, le plus rapide c'est la ligne droite, donc elle va tout droit.

Cette idée s'appelle le principe de Fermat, du nom d'un savant français du XVII^e siècle. Elle va t'expliquer les miroirs, la paille cassée et les loupes. Va voir le défi du maître-nageur au chapitre 1 !

Je retiens

Une source fabrique de la lumière ; les autres objets la renvoient.
La lumière va en ligne droite et très vite.
Un objet opaque fait une ombre.
Un objet a la couleur de la lumière qu'il renvoie.
La lumière prend le chemin le plus rapide.

Petit lexique

Source: objet qui produit de la lumière.
Rayon: trait qui montre le chemin de la lumière.
Ombre: zone où la lumière n'arrive pas.
Opaque: qui ne laisse pas passer la lumière.
Absorber: avaler la lumière.

Primary

Where does light come from?

Some objects make their own light: the Sun, a lamp, a candle, a screen. They are called light sources.

Other objects only send back the light they receive. The Moon does not shine by itself: it is lit by the Sun.

Primary

Light travels in straight lines

Light moves in a straight line. We draw it as a line with an arrow: a ray.

When an object blocks the light, it makes a shadow behind it. If you bring the lamp closer to the object, the shadow gets bigger. Try it with the "Umbra and penumbra" simulation below.

Primary

Light is very fast

In one second, light travels about 300,000 km. That is almost 8 times around the Earth!

Sunlight still takes about 8 minutes to reach us, because the Sun is very far away.

Careful: never look straight at the Sun, not even with sunglasses.

Primary

Experiment: light goes straight

Make a small hole in the same place in three pieces of card.
Stand them up one behind the other, in front of a torch.
Look through the last hole: you only see the torch if all three holes are lined up.

Why? Because light cannot turn corners.

Primary

Transparent, translucent, opaque

Transparent: light passes and you can see through (window, clear water).
Translucent: light passes, but you cannot see clearly through (tracing paper, frosted glass).
Opaque: light does not pass (wood, cardboard, your body). Only opaque objects make a really dark shadow.

Primary

Why is a strawberry red?

Sunlight contains all colours. The strawberry swallows (absorbs) almost all of them and mostly sends back red. That red light is what reaches your eye.

A white object sends back all colours. A black object swallows almost all of them: that is why a black T-shirt gets hot in the sun.

Primary

Eclipses: giant shadows

When the Moon passes between the Sun and the Earth, its shadow falls on the Earth: a solar eclipse. When the Earth passes between the Sun and the Moon, the Earth's shadow hides the Moon: a lunar eclipse.

Primary

Light is in a hurry

Imagine a race: light always chooses the path that takes it the least time. In air, the quickest way is a straight line, so it goes straight.

This idea is called Fermat's principle, after a French scientist of the 17th century. It will explain mirrors, the broken straw and magnifying glasses. Try the lifeguard challenge in chapter 1!

Remember

A source makes light; other objects send it back.
Light travels in straight lines, very fast.
An opaque object makes a shadow.
An object has the colour of the light it sends back.
Light takes the quickest path.

Word list

Source: an object that makes light.
Ray: a line showing the path of light.
Shadow: a place light does not reach.
Opaque: does not let light through.
Absorb: to swallow light.

Secondaire I

Sources et récepteurs

Une source primaire produit de la lumière (Soleil, lampe, LED). Un objet diffusant renvoie la lumière reçue dans toutes les directions : c'est grâce à lui qu'on voit les objets. L'œil est un récepteur : on voit un objet quand de la lumière venant de lui entre dans l'œil.

Secondaire I

Vitesse de la lumière

Dans le vide (et presque dans l'air) :

\[ c \approx 300\,000\ \text{km/s} = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s} \]

Comme pour une voiture, distance, vitesse et durée sont liées par

\[ t = \frac{d}{v} \]

Une année-lumière est une distance : celle que la lumière parcourt en un an, environ 9,46 · 10¹² km.

Secondaire I

Ombres et proportions

Avec une source ponctuelle, l'ombre est un agrandissement de l'objet. Si l'écran est 3 fois plus loin de la lampe que l'objet, l'ombre est 3 fois plus grande :

\[ \frac{D}{d} = \frac{L}{a} \]

Avec une source étendue, il y a une ombre entourée d'une pénombre.

Secondaire I

La lumière blanche et les couleurs

La lumière blanche est un mélange de toutes les couleurs. Un prisme les sépare : rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet. Chaque couleur a sa longueur d'onde, de 400 nm (violet) à 700 nm (rouge) environ.

Un écran fabrique toutes les couleurs avec trois lumières : rouge, vert, bleu. Rouge + vert = jaune. Rouge + vert + bleu = blanc.

Secondaire I

La couleur des objets et les filtres

Un objet absorbe certaines couleurs et diffuse les autres. Une feuille verte diffuse le vert et absorbe le rouge et le bleu. Éclairée en lumière rouge seule, elle n'a rien à renvoyer : elle paraît noire.

Un filtre rouge laisse passer le rouge et absorbe le reste. Deux filtres rouge et vert superposés ne laissent presque rien passer.

Secondaire I

Phases de la Lune et éclipses

La Lune est toujours à moitié éclairée par le Soleil. Selon sa position autour de la Terre, on voit une partie plus ou moins grande de sa face éclairée : ce sont les phases. Une éclipse n'arrive que si Soleil, Terre et Lune sont exactement alignés, ce qui est rare car l'orbite de la Lune est un peu inclinée.

Secondaire I

Le principe de Fermat

Pierre de Fermat (1662) : la lumière suit le chemin qui prend le moins de temps. Dans un milieu uniforme, c'est la ligne droite. Quand la lumière change de milieu, ce n'est plus la ligne droite, parce que sa vitesse change.

Ce seul principe explique la propagation rectiligne, la réflexion et la réfraction. On le teste au chapitre 1.

Je retiens

\(c \approx 300\,000\ \text{km/s}\) et \(t = d/v\).
Ombre : agrandissement proportionnel aux distances.
Couleur d'un objet = lumière qu'il diffuse.
Fermat : chemin de durée minimale.

Lower secondary

Sources and receivers

A primary source produces light (Sun, lamp, LED). A diffusing object scatters the light it receives in all directions: that is how we see objects. The eye is a receiver: we see an object when light coming from it enters the eye.

Lower secondary

The speed of light

In vacuum (and almost in air):

\[ c \approx 300\,000\ \text{km/s} = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s} \]

As for a car, distance, speed and time are linked by

\[ t = \frac{d}{v} \]

A light-year is a distance: how far light travels in one year, about 9.46 × 10¹² km.

Lower secondary

Shadows and proportions

With a point source, the shadow is an enlargement of the object. If the screen is 3 times further from the lamp than the object, the shadow is 3 times bigger:

\[ \frac{D}{d} = \frac{L}{a} \]

With an extended source, there is an umbra surrounded by a penumbra.

Lower secondary

White light and colours

White light is a mixture of all colours. A prism separates them: red, orange, yellow, green, blue, violet. Each colour has its own wavelength, from about 400 nm (violet) to 700 nm (red).

A screen makes every colour from three lights: red, green, blue. Red + green = yellow. Red + green + blue = white.

Lower secondary

Object colours and filters

An object absorbs some colours and scatters the others. A green leaf scatters green and absorbs red and blue. Lit with red light only, it has nothing to send back: it looks black.

A red filter lets red through and absorbs the rest. A red and a green filter on top of each other let almost nothing through.

Lower secondary

Moon phases and eclipses

Half of the Moon is always lit by the Sun. Depending on where it is around the Earth, we see more or less of its lit half: these are the phases. An eclipse only happens when Sun, Earth and Moon are exactly in line, which is rare because the Moon's orbit is slightly tilted.

Lower secondary

Fermat's principle

Pierre de Fermat (1662): light follows the path that takes the least time. In a uniform medium, that is a straight line. When light changes medium, it is no longer the straight line, because its speed changes.

This single principle explains straight-line propagation, reflection and refraction. We test it in chapter 1.

Remember

\(c \approx 300\,000\ \text{km/s}\) and \(t = d/v\).
Shadow: enlarged in proportion to distances.
An object's colour = the light it scatters.
Fermat: path of least time.

À toi de jouer

Déplace le curseur tout à gauche, puis tout à droite. Quelles couleurs vois-tu passer ?
Trouve la couleur du ciel, puis celle d'une tomate.
Que se passe-t-il avant 380 nm et après 780 nm ? Notre œil ne voit plus rien : c'est l'ultraviolet et l'infrarouge.

Your turn

Move the slider fully left, then fully right. Which colours go by?
Find the colour of the sky, then that of a tomato.
What happens below 380 nm and above 780 nm? Our eyes see nothing: that is ultraviolet and infrared.

À toi de jouer

Prédis : quand λ augmente, la fréquence augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Vérifie.
Calcule λ × f pour deux couleurs. Que trouves-tu à chaque fois ?

Your turn

Predict: when λ increases, does the frequency go up or down? Check.
Work out λ × f for two colours. What do you find each time?

À toi de jouer

Mets la taille de la source à 0 : l'ombre a-t-elle des bords nets ou flous ?
Agrandis la source. Qu'apparaît-il autour de l'ombre noire ?
Rapproche l'obstacle de la source. Avant de bouger, devine : l'ombre grandit ou rétrécit ?

Your turn

Set the source size to 0: does the shadow have sharp or blurry edges?
Make the source bigger. What appears around the dark shadow?
Move the obstacle closer to the source. Before moving it, guess: does the shadow grow or shrink?

À toi de jouer

Source à 0, obstacle 10 cm à 50 cm : calcule la taille de l'ombre sur l'écran (à 100 cm), puis vérifie.
Trouve un réglage où l'ombre disparaît complètement mais où la pénombre reste : c'est une éclipse annulaire.

Your turn

Source at 0, a 10 cm obstacle at 50 cm: work out the shadow size on the screen (at 100 cm), then check.
Find a setting where the umbra vanishes but the penumbra remains: that is an annular eclipse.

Exemples résolusWorked examples

Combien de temps met la lumière du Soleil ?

Distance moyenne Terre-Soleil : \(d = 1{,}496 \cdot 10^{11}\ \text{m}\).

\[ t = \frac{d}{c} = \frac{1{,}496 \cdot 10^{11}\ \text{m}}{2{,}998 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}} \approx 499\ \text{s} \]

Soit environ 8 min 19 s. On voit donc le Soleil tel qu'il était il y a un peu plus de 8 minutes.

Fréquence d'un laser hélium-néon

Un laser He-Ne émet à \(\lambda = 632{,}8\ \text{nm}\).

\[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{2{,}998 \cdot 10^{8}}{632{,}8 \cdot 10^{-9}} \approx 4{,}74 \cdot 10^{14}\ \text{Hz} \]

\[ E = h f \approx 3{,}14 \cdot 10^{-19}\ \text{J} \approx 1{,}96\ \text{eV} \]

Vitesse de la lumière dans l'eau

\[ v = \frac{c}{n} = \frac{2{,}998 \cdot 10^{8}}{1{,}333} \approx 2{,}25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s} \]

Soit 75 % de \(c\). La fréquence ne change pas en entrant dans l'eau. La longueur d'onde devient \(\lambda_{\text{eau}} = \dfrac{\lambda}{n}\).

Taille d'une ombre (source ponctuelle)

Une lampe ponctuelle éclaire un disque de 4 cm de diamètre placé à 50 cm. L'écran est à 2 m de la lampe. Triangles semblables (Thalès) :

\[ \frac{D}{d} = \frac{L}{a} \]\[ \Longrightarrow\quad D = d\,\frac{L}{a} = 4 \cdot \frac{200}{50} = 16\ \text{cm} \]

How long does sunlight take to reach us?

Mean Earth-Sun distance: \(d = 1.496 \times 10^{11}\ \text{m}\).

\[ t = \frac{d}{c} = \frac{1.496 \times 10^{11}\ \text{m}}{2.998 \times 10^{8}\ \text{m/s}} \approx 499\ \text{s} \]

About 8 min 19 s. We see the Sun as it was a little over 8 minutes ago.

Frequency of a helium-neon laser

A He-Ne laser emits at \(\lambda = 632.8\ \text{nm}\).

\[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.998 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}} \approx 4.74 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]

\[ E = h f \approx 3.14 \times 10^{-19}\ \text{J} \approx 1.96\ \text{eV} \]

Speed of light in water

\[ v = \frac{c}{n} = \frac{2.998 \times 10^{8}}{1.333} \approx 2.25 \times 10^{8}\ \text{m/s} \]

That is 75% of \(c\). The frequency does not change on entering water. The wavelength becomes \(\lambda_{\text{water}} = \dfrac{\lambda}{n}\).

Size of a shadow (point source)

A point lamp lights a disc 4 cm in diameter placed 50 cm away. The screen is 2 m from the lamp. Similar triangles (intercept theorem):

\[ \frac{D}{d} = \frac{L}{a} \]\[ \Longrightarrow\quad D = d\,\frac{L}{a} = 4 \times \frac{200}{50} = 16\ \text{cm} \]

Combien de temps pour aller de la Terre à la Lune ?

Distance Terre-Lune : environ 384 000 km.

\[ t = \frac{d}{c} = \frac{384\,000\ \text{km}}{300\,000\ \text{km/s}} = 1{,}28\ \text{s} \]

Un peu plus d'une seconde.

Agrandir une ombre

Une figurine de 5 cm est à 20 cm d'une lampe. Le mur est à 80 cm de la lampe, soit 4 fois plus loin.

\[ D = 5 \cdot \frac{80}{20} = 5 \cdot 4 = 20\ \text{cm} \]

How long from the Earth to the Moon?

Earth-Moon distance: about 384,000 km.

\[ t = \frac{d}{c} = \frac{384\,000\ \text{km}}{300\,000\ \text{km/s}} = 1.28\ \text{s} \]

A little over one second.

Enlarging a shadow

A 5 cm figurine is 20 cm from a lamp. The wall is 80 cm from the lamp, 4 times further.

\[ D = 5 \times \frac{80}{20} = 5 \times 4 = 20\ \text{cm} \]

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

Fais d'abord ta prédiction, sans tricher. Ensuite, demande les indices un par un et essaie de trouver l'explication toi-même avant de lire la réponse.Make your prediction first, no cheating. Then ask for the hints one at a time and try to work out the explanation yourself before reading the answer.

ExercicesExercises

Chapitre 1

Réflexion, réfraction, réflexion totale

Ce qui arrive à un rayon quand il rencontre la surface entre deux milieux. Tout le reste de l'optique géométrique en découle.

Chapter 1

Reflection, refraction, total internal reflection

What happens to a ray when it meets the boundary between two media. The rest of geometrical optics follows from it.

Maturité

Loi de la réflexion

Les angles se mesurent depuis la normale à la surface, jamais depuis la surface elle-même. Le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et

\[ \theta_r = \theta_1 \]

Maturité

Loi de Snell-Descartes

Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence et

\[ n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]

Vers un milieu plus réfringent (\(n_2 \gt n_1\)), le rayon se rapproche de la normale. Vers un milieu moins réfringent, il s'en écarte.

Maturité

Réflexion totale

Si \(n_1 \gt n_2\), l'angle réfracté atteint 90° pour l'angle critique (ou angle limite)

\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]

Au-delà, il n'y a plus de rayon réfracté : toute la lumière est réfléchie. Applications : fibres optiques, prismes des jumelles, éclat du diamant (\(\theta_c \approx 24{,}4^\circ\)).

Maturité

Profondeur apparente

Un caillou au fond d'une piscine semble moins profond. Pour une observation presque verticale (petits angles, \(\sin\theta \approx \tan\theta\)) :

\[ h' = h \cdot \frac{n_{\text{obs}}}{n_{\text{objet}}} \]

Pour l'eau vue depuis l'air : \(h' \approx \dfrac{h}{1{,}333} \approx 0{,}75\,h\).

OS / OC

Combien de lumière est réfléchie ? Fresnel

À chaque interface, une partie est réfléchie. En incidence normale :

\[ R = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^{2} \]

Air-verre : environ 4 % par face. Le coefficient dépend de l'angle et de la polarisation (graphe de la simulation). À l'angle de Brewster

\[ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \]

la composante polarisée dans le plan d'incidence (p) n'est plus réfléchie. Le reflet est alors polarisé : c'est le principe des lunettes polarisantes.

OS / OC

Prisme et fibre optique

Un prisme d'angle au sommet \(A\) dévie la lumière. La déviation passe par un minimum \(D_m\), quand le trajet est symétrique :

\[ n = \frac{\sin\!\left(\dfrac{A + D_m}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{A}{2}\right)} \]

Une fibre (cœur \(n_c\), gaine \(n_g\)) guide la lumière par réflexion totale. Depuis l'air, elle accepte les rayons jusqu'à l'angle donné par l'ouverture numérique :

\[ \mathrm{ON} = \sin\theta_{\max} = \sqrt{n_c^{2} - n_g^{2}} \]

Université

Principe de Fermat

La lumière suit un chemin qui rend le temps de parcours stationnaire. Entre A (hauteur \(a\) au-dessus de l'interface) et B (profondeur \(b\), décalage horizontal \(d\)), le rayon traverse l'interface en \(x\) :

\[ \begin{aligned} c\,t(x) &= n_1 \sqrt{a^{2} + x^{2}} \\ &\quad + n_2 \sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}} \end{aligned} \]

\[ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = 0 \]\[ \Longrightarrow\quad \frac{n_1\, x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} = \frac{n_2\,(d-x)}{\sqrt{b^{2}+(d-x)^{2}}} \]\[ \Longleftrightarrow\quad n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]

Université

Coefficients de Fresnel et onde évanescente

\[ r_s = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2} \]\[ r_p = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2} \]

En réflexion totale, \(\cos\theta_2\) devient imaginaire : \(\lvert r \rvert = 1\) et un champ évanescent décroît exponentiellement dans le milieu 2, sur une distance de l'ordre de \(\lambda\). Approcher un second milieu à cette distance laisse fuir de la lumière : réflexion totale frustrée, analogue optique de l'effet tunnel.

Maturité

Fermat explique les deux lois

Réflexion (Héron d'Alexandrie, I^er siècle) : dans un même milieu, le plus rapide est le plus court. Le chemin A → miroir → B le plus court passe par le point où \(\theta_r = \theta_1\) : il suffit de viser le symétrique de B.

Réfraction : en minimisant \(t = \dfrac{AP}{v_1} + \dfrac{PB}{v_2}\), on trouve

\[ \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \]\[ \Longleftrightarrow\quad n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]

La simulation « Le chemin le plus rapide » le montre : au creux de la courbe \(t(x)\), le rapport des sinus égale le rapport des vitesses.

Matura

Law of reflection

Angles are measured from the normal to the surface, never from the surface itself. The reflected ray lies in the plane of incidence and

\[ \theta_r = \theta_1 \]

Matura

Snell's law

The refracted ray lies in the plane of incidence and

\[ n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]

Going into a denser medium (\(n_2 \gt n_1\)), the ray bends towards the normal. Going into a less dense medium, it bends away.

Matura

Total internal reflection

If \(n_1 \gt n_2\), the refracted angle reaches 90° at the critical angle

\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]

Beyond it there is no refracted ray: all the light is reflected. Applications: optical fibres, binocular prisms, the sparkle of diamond (\(\theta_c \approx 24.4^\circ\)).

Matura

Apparent depth

A pebble at the bottom of a pool looks shallower than it is. For near-vertical viewing (small angles, \(\sin\theta \approx \tan\theta\)):

\[ h' = h \times \frac{n_{\text{observer}}}{n_{\text{object}}} \]

For water seen from air: \(h' \approx \dfrac{h}{1.333} \approx 0.75\,h\).

Advanced

How much light is reflected? Fresnel

At every interface, part of the light is reflected. At normal incidence:

\[ R = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^{2} \]

Air-glass: about 4% per face. The coefficient depends on angle and polarisation (see the graph in the simulation). At Brewster's angle

\[ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \]

the component polarised in the plane of incidence (p) is no longer reflected. The reflection is then polarised: this is how polarising sunglasses work.

Advanced

Prism and optical fibre

A prism with apex angle \(A\) deviates light. The deviation goes through a minimum \(D_m\) when the path is symmetric:

\[ n = \frac{\sin\!\left(\dfrac{A + D_m}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{A}{2}\right)} \]

A fibre (core \(n_c\), cladding \(n_g\)) guides light by total internal reflection. From air, it accepts rays up to the angle given by the numerical aperture:

\[ \mathrm{NA} = \sin\theta_{\max} = \sqrt{n_c^{2} - n_g^{2}} \]

University

Fermat's principle

Light follows a path along which the travel time is stationary. Between A (height \(a\) above the interface) and B (depth \(b\), horizontal offset \(d\)), the ray crosses the interface at \(x\):

\[ \begin{aligned} c\,t(x) &= n_1 \sqrt{a^{2} + x^{2}} \\ &\quad + n_2 \sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}} \end{aligned} \]

University

Fresnel coefficients and the evanescent wave

\[ r_s = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2} \]\[ r_p = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2} \]

In total internal reflection, \(\cos\theta_2\) becomes imaginary: \(\lvert r \rvert = 1\) and an evanescent field decays exponentially in medium 2 over a distance of order \(\lambda\). Bringing a second medium that close lets light leak through: frustrated total internal reflection, the optical analogue of quantum tunnelling.

Matura

Fermat explains both laws

Reflection (Hero of Alexandria, 1st century): in a single medium, the fastest path is the shortest. The shortest path A → mirror → B goes through the point where \(\theta_r = \theta_1\): just aim at the mirror image of B.

Refraction: minimising \(t = \dfrac{AP}{v_1} + \dfrac{PB}{v_2}\) gives

\[ \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \]\[ \Longleftrightarrow\quad n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]

"The fastest path" simulation shows it: at the bottom of the curve \(t(x)\), the ratio of sines equals the ratio of speeds.

Primaire

La lumière rebondit sur un miroir

Une balle lancée contre un mur rebondit. La lumière fait pareil sur un miroir : elle repart avec le même angle que celui avec lequel elle est arrivée.

Primaire

La paille cassée

Mets une paille dans un verre d'eau : elle semble cassée à la surface. La paille n'a rien. C'est la lumière qui change de direction quand elle passe de l'eau à l'air.

Pour la même raison, le fond d'une piscine paraît moins profond qu'il ne l'est.

Primaire

La lumière piégée

Si la lumière arrive très penchée sur la surface de l'eau ou du verre, elle ne peut plus sortir : elle rebondit à l'intérieur comme sur un miroir parfait.

Les fibres optiques utilisent ce piège pour transporter la lumière, et donc Internet, sur des milliers de kilomètres.

Primaire

Expérience : la pièce qui apparaît

Pose une pièce au fond d'une tasse vide.
Recule jusqu'à ce que le bord de la tasse cache la pièce.
Sans bouger, demande à quelqu'un de verser doucement de l'eau.

La pièce réapparaît ! La lumière qui sort de l'eau est déviée vers ton œil.

Primaire

Le maître-nageur et la lumière

Un maître-nageur sur la plage voit quelqu'un en difficulté dans l'eau. Il court vite sur le sable, mais il nage lentement. Doit-il foncer en ligne droite ?

Non ! Il gagne du temps en courant un peu plus sur le sable, puis en nageant moins. Son chemin se « casse » au bord de l'eau.

La lumière fait exactement pareil : elle va moins vite dans l'eau que dans l'air, donc son chemin se casse à la surface. C'est pour ça que la paille paraît cassée. Essaie dans la simulation « Le chemin le plus rapide ».

Primaire

Ton image dans le miroir

Ton reflet semble être derrière le miroir, aussi loin derrière que toi devant. Si tu recules d'un pas, il recule d'un pas.

Écris ton prénom sur une feuille et regarde-le dans un miroir : il est à l'envers ! C'est pour cela que le mot AMBULANCE est écrit à l'envers sur le devant des ambulances : on le lit à l'endroit dans le rétroviseur.

Je retiens

Sur un miroir, la lumière repart avec le même angle.
En changeant de matière (air, eau, verre), la lumière change de direction : c'est la réfraction.
Elle choisit toujours le chemin le plus rapide, comme un maître-nageur malin.

Petit lexique

Réflexion: la lumière rebondit.
Réfraction: la lumière change de direction en changeant de matière.
Reflet: image vue dans un miroir.
Fibre optique: fil de verre qui guide la lumière.

Primary

Light bounces off a mirror

A ball thrown at a wall bounces back. Light does the same on a mirror: it leaves at the same angle as it arrived.

Primary

The broken straw

Put a straw in a glass of water: it looks broken at the surface. The straw is fine. It is the light that changes direction when it goes from water into air.

For the same reason, the bottom of a swimming pool looks shallower than it really is.

Primary

Trapped light

If light hits the surface of water or glass at a very slanted angle, it cannot get out: it bounces back inside as if from a perfect mirror.

Optical fibres use this trap to carry light, and so the Internet, over thousands of kilometres.

Primary

Experiment: the appearing coin

Put a coin at the bottom of an empty mug.
Step back until the rim of the mug hides the coin.
Without moving, ask someone to pour water in slowly.

The coin appears again! The light leaving the water is bent towards your eye.

Primary

The lifeguard and the light

A lifeguard on the beach sees someone in trouble in the water. He runs fast on the sand but swims slowly. Should he dash in a straight line?

No! He saves time by running a bit further on the sand, then swimming less. His path "breaks" at the water's edge.

Light does exactly the same: it is slower in water than in air, so its path breaks at the surface. That is why the straw looks broken. Try it in "The fastest path" simulation.

Primary

Your image in the mirror

Your reflection seems to be behind the mirror, as far behind as you are in front. If you step back, it steps back.

Write your name on a sheet and look at it in a mirror: it is back to front! That is why AMBULANCE is written backwards on the front of ambulances: drivers read it the right way in their mirror.

Remember

On a mirror, light leaves at the same angle.
Changing material (air, water, glass), light changes direction: refraction.
It always chooses the quickest path, like a clever lifeguard.

Word list

Reflection: light bounces back.
Refraction: light changes direction when it changes material.
Reflection (image): what you see in a mirror.
Optical fibre: a glass thread that guides light.

Secondaire I

Loi de la réflexion

On mesure les angles depuis la normale, la droite perpendiculaire au miroir. L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :

\[ \theta_r = \theta_i \]

Piège classique : si on donne l'angle entre le rayon et le miroir, l'angle d'incidence vaut 90° moins cet angle.

Secondaire I

Réfraction

En changeant de milieu, la lumière change de vitesse et de direction. L'indice d'un milieu dit combien de fois la lumière y est plus lente que dans le vide :

\[ n = \frac{c}{v} \]

Air → eau ou air → verre : le rayon se rapproche de la normale. Eau → air : il s'en écarte. La loi précise est \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) (calculette nécessaire).

Secondaire I

Réflexion totale

Quand la lumière sort d'un milieu plus réfringent (verre, eau) vers l'air, au-delà d'un certain angle, l'angle critique, elle ne sort plus : elle est entièrement réfléchie. Pour le verre, c'est environ 42°. Applications : fibres optiques, prismes des jumelles.

Secondaire I

Le chemin le plus rapide

Pour aller de A (milieu 1, vitesse \(v_1\)) à B (milieu 2, vitesse \(v_2\)) en passant par un point P de la frontière, la durée est

\[ t = \frac{AP}{v_1} + \frac{PB}{v_2} \]

On calcule AP et PB avec Pythagore. Le point P qui rend \(t\) minimal donne exactement la direction du rayon réfracté. La lumière « choisit » ce point.

Secondaire I

Image dans un miroir plan

L'image est symétrique de l'objet par rapport au miroir : même taille, même distance derrière le miroir que l'objet devant. Elle est virtuelle : aucune lumière ne passe vraiment derrière le miroir.

Astuce de Héron : pour trouver où un rayon touche le miroir pour aller de A à B, trace la droite de A vers le reflet de B. C'est aussi le chemin le plus court.

Je retiens

Angles mesurés depuis la normale ; \(\theta_r = \theta_i\).
\(n = c/v\) ; vers un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale.
Réflexion totale au-delà de l'angle critique.
Fermat : la réflexion et la réfraction suivent le chemin le plus rapide.

Lower secondary

Law of reflection

Angles are measured from the normal, the line perpendicular to the mirror. The angle of reflection equals the angle of incidence:

\[ \theta_r = \theta_i \]

Classic trap: if you are given the angle between the ray and the mirror, the angle of incidence is 90° minus that angle.

Lower secondary

Refraction

When it changes medium, light changes speed and direction. The refractive index of a medium says how many times slower light is there than in vacuum:

\[ n = \frac{c}{v} \]

Air → water or air → glass: the ray bends towards the normal. Water → air: it bends away. The exact law is \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\) (calculator needed).

Lower secondary

Total internal reflection

When light goes from a denser medium (glass, water) into air, beyond a certain angle, the critical angle, it no longer gets out: it is completely reflected. For glass it is about 42°. Uses: optical fibres, binocular prisms.

Lower secondary

The fastest path

To go from A (medium 1, speed \(v_1\)) to B (medium 2, speed \(v_2\)) through a point P on the boundary, the time is

\[ t = \frac{AP}{v_1} + \frac{PB}{v_2} \]

AP and PB come from Pythagoras. The point P that makes \(t\) smallest gives exactly the direction of the refracted ray. Light "chooses" that point.

Lower secondary

Image in a plane mirror

The image is the mirror image of the object across the mirror: same size, as far behind the mirror as the object is in front. It is virtual: no light actually goes behind the mirror.

Hero's trick: to find where a ray hits the mirror going from A to B, draw the line from A to the mirror image of B. It is also the shortest path.

Remember

Angles measured from the normal; \(\theta_r = \theta_i\).
\(n = c/v\); into a slower medium, the ray bends towards the normal.
Total internal reflection beyond the critical angle.
Fermat: reflection and refraction follow the fastest path.

À toi de jouer

Glisse le point rouge au bord de l'eau. Regarde le temps changer.
Essaie de battre le maître-nageur : trouve le point qui donne le plus petit temps.
Clique sur « Trouver le chemin le plus rapide ». Avais-tu deviné ? Pourquoi la ligne droite n'est-elle pas la meilleure ?
Choisis maintenant « Passer par un miroir » : où faut-il toucher le miroir pour faire le trajet le plus court ?

Your turn

Slide the red dot along the water's edge. Watch the time change.
Try to beat the lifeguard: find the point that gives the shortest time.
Click "Find the fastest path". Had you guessed? Why is the straight line not the best?
Now choose "Via a mirror": where should you touch the mirror to make the shortest trip?

À toi de jouer

Avant de chercher, prédis : le meilleur point est-il plus près du maître-nageur ou du nageur ? Pourquoi ?
Trouve le minimum, puis compare les angles θ₁ et θ₂ : dans quel milieu le rayon est-il le plus proche de la normale ?
En mode miroir, active l'astuce du reflet. Que remarques-tu sur les deux angles au meilleur point ?

Your turn

Before searching, predict: is the best point closer to the lifeguard or to the swimmer? Why?
Find the minimum, then compare angles θ₁ and θ₂: in which medium is the ray closest to the normal?
In mirror mode, switch on the reflection trick. What do you notice about the two angles at the best point?

Piste de travail : déplacez A et B, trouvez le minimum, et vérifiez que \(\sin\theta_1 / \sin\theta_2 = v_1 / v_2\). Quel lien avec les indices ? Que devient le chemin si \(v_1 = v_2\) ?

Worksheet idea: move A and B, find the minimum, and check that \(\sin\theta_1 / \sin\theta_2 = v_1 / v_2\). How does this relate to the indices? What happens to the path if \(v_1 = v_2\)?

À toi de jouer

Glisse le doigt sur la scène pour changer l'angle du laser.
Mets « Verre » en haut et « Air » en bas, puis penche beaucoup le laser. Que se passe-t-il quand le rayon ne peut plus sortir ?
Inverse les milieux : la lumière peut-elle rester piégée dans l'air ?

Your turn

Drag on the stage to change the laser's angle.
Put "Glass" on top and "Air" below, then tilt the laser a lot. What happens when the ray can no longer get out?
Swap the media: can light be trapped in air?

À toi de jouer

Verre → air : augmente l'angle degré par degré et note l'angle exact où le rayon réfracté disparaît.
Compare avec le diamant. Lequel piège la lumière le plus facilement ? Déduis pourquoi un diamant brille autant.

Your turn

Glass → air: increase the angle degree by degree and note the exact angle where the refracted ray disappears.
Compare with diamond. Which one traps light more easily? Deduce why a diamond sparkles so much.

Exemples résolusWorked examples

Un laser entre dans l'eau à 40°

\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \frac{1{,}000 \cdot \sin 40^\circ}{1{,}333} = 0{,}4822 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_2 \approx 28{,}8^\circ \]

Le rayon se rapproche de la normale.

Angle critique verre / air

\[ \sin\theta_c = \frac{1}{1{,}5} = 0{,}667 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_c \approx 41{,}8^\circ \]

Un prisme à 45° réfléchit donc totalement : c'est le prisme des jumelles et du périscope.

Fibre optique : guidage par réflexion totale

Un barreau de verre (\(n = 1{,}5\)) dans l'air. À l'intérieur, le rayon frappe les parois à plus de 41,8° de la normale : il est piégé et suit le barreau.

Fibre réelle : cœur 1,48, gaine 1,46.

\[ \mathrm{ON} = \sqrt{1{,}48^{2} - 1{,}46^{2}} \approx 0{,}243 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_{\max} \approx 14{,}0^\circ \]

Angle de Brewster air / verre

\[ \tan\theta_B = \frac{1{,}5}{1} \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_B \approx 56{,}3^\circ \]

À cet angle, rayon réfléchi et rayon réfracté sont perpendiculaires : \(\theta_B + \theta_2 = 90^\circ\).

Décomposition de la lumière blanche par un prisme

Un prisme de flint (\(n \approx 1{,}62\), forte dispersion) sépare les couleurs. Le violet, d'indice plus grand, est le plus dévié.

A laser enters water at 40°

\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1 \sin\theta_1}{n_2} = \frac{1.000 \times \sin 40^\circ}{1.333} = 0.4822 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_2 \approx 28.8^\circ \]

The ray bends towards the normal.

Critical angle glass / air

\[ \sin\theta_c = \frac{1}{1.5} = 0.667 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_c \approx 41.8^\circ \]

A 45° prism therefore reflects totally: this is the prism in binoculars and periscopes.

Optical fibre: guiding by total internal reflection

A glass rod (\(n = 1.5\)) in air. Inside, the ray hits the walls at more than 41.8° from the normal: it is trapped and follows the rod.

Real fibre: core 1.48, cladding 1.46.

\[ \mathrm{NA} = \sqrt{1.48^{2} - 1.46^{2}} \approx 0.243 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_{\max} \approx 14.0^\circ \]

Brewster's angle air / glass

\[ \tan\theta_B = \frac{1.5}{1} \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_B \approx 56.3^\circ \]

At this angle, the reflected and refracted rays are perpendicular: \(\theta_B + \theta_2 = 90^\circ\).

Splitting white light with a prism

A flint prism (\(n \approx 1.62\), strong dispersion) separates the colours. Violet, with the highest index, is deviated the most.

Angle donné par rapport au miroir

Un rayon arrive en faisant 25° avec la surface du miroir.

\[ \theta_i = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \]\[ \theta_r = 65^\circ \]

Entre le rayon incident et le rayon réfléchi : 65° + 65° = 130°.

Indice de l'eau

Dans l'eau, la lumière va à environ 225 000 km/s.

\[ n = \frac{300\,000}{225\,000} \approx 1{,}33 \]

Angle given from the mirror

A ray arrives at 25° to the surface of the mirror.

\[ \theta_i = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \]\[ \theta_r = 65^\circ \]

Between the incident and reflected rays: 65° + 65° = 130°.

Refractive index of water

In water, light travels at about 225,000 km/s.

\[ n = \frac{300\,000}{225\,000} \approx 1.33 \]

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

ExercicesExercises

Chapitre 2

Dioptres et lentilles, à partir des lois de base

Une lentille n'est que deux surfaces. On applique Snell-Descartes à chacune, et la notion de foyer apparaît, avec ses limites.

Chapter 2

Refracting surfaces and lenses, from first principles

A lens is just two surfaces. Apply Snell's law at each one, and the idea of a focus appears, along with its limits.

Maturité

Une lentille = deux dioptres

Un dioptre est une surface qui sépare deux milieux transparents. Une lentille en verre a deux dioptres, souvent sphériques. Pour savoir où va un rayon, on applique la loi de Snell-Descartes à l'entrée, puis à la sortie. Rien de plus.

C'est exactement ce que fait la simulation ci-dessous : aucun foyer n'y est programmé. Il émerge du calcul rayon par rayon.

Maturité

Approximation de Gauss

Si les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés,

\[ \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \quad (\theta \text{ en radians}) \]

Dans ce cas, tous les rayons parallèles à l'axe convergent au même point : le foyer image F'.

Hors de cette approximation, les rayons du bord convergent plus près de la lentille que ceux du centre. C'est l'aberration sphérique. Élargis le faisceau dans la simulation pour la voir.

Maturité

Formule des opticiens (lentille mince)

Convention : la lumière va de gauche à droite, \(R \gt 0\) si le centre de la sphère est à droite de la surface. Pour une lentille mince d'indice \(n\) dans l'air :

\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

Une face plane a \(R = \infty\), donc \(\dfrac{1}{R} = 0\). La vergence s'exprime en dioptries (δ), avec \(f\) en mètres :

\[ V = \frac{1}{f} \]

OS / OC

Le dioptre sphérique

Un seul dioptre de rayon \(R\) entre les milieux \(n_1\) et \(n_2\) forme une image. En approximation de Gauss, avec \(p\) et \(p'\) positifs pour un objet et une image réels :

\[ \frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{p'} = \frac{n_2 - n_1}{R} \]

On l'obtient avec Snell-Descartes linéarisé (\(n_1 \theta_1 = n_2 \theta_2\)) et un peu de géométrie des petits angles.

OS / OC

De deux dioptres à la lentille mince

Premier dioptre (air → verre), image intermédiaire à \(p_1'\) :

\[ \frac{1}{p} + \frac{n}{p_1'} = \frac{n - 1}{R_1} \]

Cette image sert d'objet au second dioptre (verre → air). Si l'épaisseur est négligeable, c'est un objet virtuel à la distance \(p_1'\) :

\[ -\frac{n}{p_1'} + \frac{1}{p'} = \frac{1 - n}{R_2} \]

En additionnant, \(p_1'\) disparaît :

\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = (n - 1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f} \]

Université

Lentille épaisse et matrices de transfert

On décrit un rayon par le vecteur \(\begin{pmatrix} y \\ n u \end{pmatrix}\) : hauteur et angle réduit. Une réfraction et une translation s'écrivent

\[ \mathcal{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[2pt] -\dfrac{n_2 - n_1}{R} & 1 \end{pmatrix} \]\[ \mathcal{T} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{e}{n} \\[2pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La lentille est \(M = \mathcal{R}_2\, \mathcal{T}\, \mathcal{R}_1\) et \(\dfrac{1}{f} = -M_{21}\) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{f} = (n - 1) \Bigg[ & \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \\ & + \frac{(n - 1)\, e}{n R_1 R_2} \Bigg] \end{aligned} \]

La distance focale image, comptée depuis le sommet de sortie, vaut

\[ \overline{S_2 F'} = f \left( 1 - \frac{(n - 1)\, e}{n R_1} \right) \]

La différence avec \(f\) donne la position du plan principal image H'.

Maturité

Le foyer vu par Fermat

Un point image est un point où tous les chemins venant de l'objet ont le même chemin optique. Pour un faisceau parallèle et le foyer F' :

\[ L = n_{\text{air}}\,\ell_{\text{air}} + n\,\ell_{\text{verre}} = \text{constante pour tous les rayons} \]

Le rayon central est le plus court mais traverse l'épaisseur maximale de verre. Une surface sphérique ne réalise cette égalité qu'en approximation de Gauss : l'écart pour les rayons du bord, c'est l'aberration sphérique visible dans la simulation.

Matura

A lens = two refracting surfaces

A refracting surface separates two transparent media. A glass lens has two of them, usually spherical. To find where a ray goes, apply Snell's law at the entry surface, then at the exit surface. Nothing more.

That is exactly what the simulation below does: no focus is programmed into it. It emerges from the ray-by-ray calculation.

Matura

The paraxial (Gaussian) approximation

If rays stay close to the axis and are only slightly inclined,

\[ \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta \quad (\theta \text{ in radians}) \]

Then all rays parallel to the axis converge to the same point: the image focus F'.

Outside this approximation, edge rays converge closer to the lens than central rays. This is spherical aberration. Widen the beam in the simulation to see it.

Matura

Lensmaker's equation (thin lens)

Convention: light travels left to right, \(R \gt 0\) if the centre of the sphere is to the right of the surface. For a thin lens of index \(n\) in air:

\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]

A flat face has \(R = \infty\), so \(\dfrac{1}{R} = 0\). The optical power is measured in dioptres (D), with \(f\) in metres:

\[ P = \frac{1}{f} \]

Advanced

The spherical refracting surface

A single surface of radius \(R\) between media \(n_1\) and \(n_2\) forms an image. In the paraxial approximation, with \(p\) and \(p'\) positive for a real object and a real image:

\[ \frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{p'} = \frac{n_2 - n_1}{R} \]

It follows from the linearised Snell's law (\(n_1 \theta_1 = n_2 \theta_2\)) and a little small-angle geometry.

Advanced

From two surfaces to the thin lens

First surface (air → glass), intermediate image at \(p_1'\):

\[ \frac{1}{p} + \frac{n}{p_1'} = \frac{n - 1}{R_1} \]

This image is the object for the second surface (glass → air). If the thickness is negligible, it is a virtual object at distance \(p_1'\):

\[ -\frac{n}{p_1'} + \frac{1}{p'} = \frac{1 - n}{R_2} \]

Adding the two, \(p_1'\) cancels:

\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = (n - 1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f} \]

University

Thick lens and transfer matrices

A ray is described by the vector \(\begin{pmatrix} y \\ n u \end{pmatrix}\): height and reduced angle. Refraction and translation read

\[ \mathcal{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[2pt] -\dfrac{n_2 - n_1}{R} & 1 \end{pmatrix} \]\[ \mathcal{T} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{e}{n} \\[2pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \]

The lens is \(M = \mathcal{R}_2\, \mathcal{T}\, \mathcal{R}_1\) and \(\dfrac{1}{f} = -M_{21}\):

\[ \begin{aligned} \frac{1}{f} = (n - 1) \Bigg[ & \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \\ & + \frac{(n - 1)\, e}{n R_1 R_2} \Bigg] \end{aligned} \]

The back focal distance, measured from the exit vertex, is

\[ \overline{S_2 F'} = f \left( 1 - \frac{(n - 1)\, e}{n R_1} \right) \]

Its difference from \(f\) gives the position of the image principal plane H'.

Matura

The focus seen by Fermat

An image point is a point where all paths from the object have the same optical path length. For a parallel beam and the focus F':

\[ L = n_{\text{air}}\,\ell_{\text{air}} + n\,\ell_{\text{glass}} = \text{the same for every ray} \]

The central ray is the shortest but crosses the thickest glass. A spherical surface achieves this equality only in the paraxial approximation: the mismatch for edge rays is the spherical aberration visible in the simulation.

Primaire

Qu'est-ce qu'une lentille ?

Une lentille est un morceau de verre ou de plastique transparent avec des faces bombées. Une loupe est une lentille plus épaisse au milieu qu'au bord.

Elle fait se rejoindre les rayons de lumière en un point : le foyer.

Primaire

Plus bombée, plus forte

Plus une lentille est bombée, plus elle dévie la lumière et plus son foyer est proche. Dans la simulation ci-dessous, joue avec les rayons R₁ et R₂ et regarde où les rayons se croisent.

Primaire

Expérience : la loupe en eau

Pose une goutte d'eau sur un film plastique transparent.
Place le film au-dessus d'un journal.

Les lettres paraissent plus grandes : la goutte bombée est une petite loupe. Sécurité : ne regarde jamais le Soleil à travers une loupe et ne laisse pas de loupe au soleil.

Primaire

Pourquoi la loupe est plus épaisse au milieu ?

Imagine plusieurs coureurs qui partent d'un même point pour arriver au même point, le foyer. Ceux qui passent par le bord font un trajet plus long. Ceux qui passent par le milieu font un trajet plus court, mais ils traversent plus de verre, où l'on avance lentement.

Résultat : tout le monde arrive en même temps ! C'est pour cela que tous les rayons se retrouvent au foyer.

Je retiens

Une loupe est plus épaisse au milieu : elle rassemble la lumière.
Le point où les rayons se rejoignent s'appelle le foyer.
Plus la lentille est bombée, plus le foyer est proche.

Petit lexique

Lentille: verre bombé qui dévie la lumière.
Foyer: point où la lumière se rassemble.
Bombé: courbé vers l'extérieur.

Primary

What is a lens?

A lens is a piece of clear glass or plastic with curved faces. A magnifying glass is a lens that is thicker in the middle than at the edge.

It brings rays of light together at one point: the focus.

Primary

More curved, stronger

The more curved a lens is, the more it bends light and the closer its focus. In the simulation below, play with the radii R₁ and R₂ and watch where the rays cross.

Primary

Experiment: a water magnifier

Put a drop of water on a piece of clear plastic film.
Hold the film above a newspaper.

The letters look bigger: the curved drop is a tiny magnifying glass. Safety: never look at the Sun through a magnifier, and never leave one in the sunshine.

Primary

Why is a magnifier thicker in the middle?

Imagine several runners starting from the same point and finishing at the same point, the focus. Those going via the edge run further. Those going through the middle run less far, but they cross more glass, where everyone is slow.

Result: everyone arrives at the same time! That is why all the rays meet at the focus.

Remember

A magnifier is thicker in the middle: it gathers light.
The point where the rays meet is the focus.
The more curved the lens, the closer the focus.

Word list

Lens: curved glass that bends light.
Focus: point where light gathers.
Curved: bulging outwards.

Secondaire I

Convergente ou divergente

Une lentille convergente (bords minces) rassemble les rayons parallèles au foyer. Une lentille divergente (bords épais) les écarte, comme s'ils venaient d'un point situé avant elle.

La distance focale \(f\) est la distance entre la lentille et son foyer.

Secondaire I

La vergence

Les opticiens indiquent la force d'une lentille par sa vergence, en dioptries (δ), avec \(f\) en mètres :

\[ V = \frac{1}{f} \]

Une lentille de 50 cm a une vergence de 2 δ. Négative : lentille divergente.

Secondaire I

Pourquoi les rayons se croisent

Chaque rayon est dévié deux fois : en entrant dans le verre et en en sortant. Comme la surface est courbe, les rayons du bord sont plus déviés que ceux du centre. Ils se rejoignent donc près du foyer.

Secondaire I

Fermat et la lentille

Pour aller d'un point source jusqu'au foyer, le rayon central parcourt la plus petite distance mais traverse le plus de verre, où il est ralenti. Les rayons du bord font plus de chemin, mais presque tout dans l'air. Une lentille bien taillée égalise les durées : tous les chemins prennent le même temps. Ils arrivent donc ensemble au foyer.

Je retiens

Convergente : bords minces ; divergente : bords épais.
\(V = 1/f\), en dioptries, \(f\) en mètres.
Au foyer, tous les chemins durent le même temps (Fermat).

Lower secondary

Converging or diverging

A converging lens (thin edges) brings parallel rays together at the focus. A diverging lens (thick edges) spreads them out, as if they came from a point in front of it.

The focal length \(f\) is the distance between the lens and its focus.

Lower secondary

Optical power

Opticians give the strength of a lens as its power, in dioptres (D), with \(f\) in metres:

\[ P = \frac{1}{f} \]

A 50 cm lens has a power of 2 D. Negative: diverging lens.

Lower secondary

Why the rays cross

Each ray is bent twice: entering the glass and leaving it. Because the surface is curved, rays near the edge are bent more than those near the centre. So they meet near the focus.

Lower secondary

Fermat and the lens

Going from a point source to the focus, the central ray covers the shortest distance but crosses the most glass, where it is slowed down. Edge rays go further, but almost entirely through air. A well-shaped lens evens out the times: every path takes the same time. So they arrive at the focus together.

Remember

Converging: thin edges; diverging: thick edges.
\(P = 1/f\), in dioptres, \(f\) in metres.
At the focus, all paths take the same time (Fermat).

À toi de jouer

Regarde où les rayons se croisent : c'est le foyer.
Rends la lentille plus bombée (R₁ plus petit). Avant de bouger, devine : le foyer s'approche ou s'éloigne ?
Mets R₁ et R₂ à 0 : la lentille est plate. Que deviennent les rayons ?

Your turn

Look where the rays cross: that is the focus.
Make the lens more curved (smaller R₁). Before moving it, guess: does the focus move closer or further?
Set R₁ and R₂ to 0: the lens is flat. What happens to the rays?

À toi de jouer

Change l'indice n : un verre plus réfringent rapproche-t-il ou éloigne-t-il le foyer ?
Élargis le faisceau : les rayons du bord se croisent-ils au même point que ceux du centre ?
Rends R₁ négatif et R₂ positif : que devient la lentille ?

Your turn

Change the index n: does a denser glass bring the focus closer or push it away?
Widen the beam: do edge rays cross at the same point as central rays?
Make R₁ negative and R₂ positive: what does the lens become?

Exemples résolusWorked examples

Lentille biconvexe symétrique

\(R_1 = 15\ \text{cm}\), \(R_2 = -15\ \text{cm}\), \(n = 1{,}5\).

\[ \frac{1}{f} = 0{,}5 \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{15} \]\[ \Longrightarrow\quad f = 15\ \text{cm} \]

\[ V = \frac{1}{0{,}15\ \text{m}} \approx 6{,}7\ \delta \]

Avec une épaisseur de 2 cm : \(f \approx 15{,}34\ \text{cm}\), foyer à 14,66 cm du sommet de sortie. La simulation le retrouve par tracé exact.

Lentille plan-convexe

\(R_1 = 20\ \text{cm}\), face arrière plane (\(R_2 = \infty\)), \(n = 1{,}5\).

\[ \frac{1}{f} = 0{,}5 \left( \frac{1}{20} - 0 \right) = \frac{1}{40} \]\[ \Longrightarrow\quad f = 40\ \text{cm} \]

Tourne la lentille (face plane vers la lumière) : la focale reste la même, mais l'aberration sphérique est bien plus forte. La face bombée doit regarder le faisceau parallèle.

Image par un seul dioptre : la boule de verre

Objet dans l'air à 30 cm d'une surface convexe de verre (\(R = 10\ \text{cm}\), \(n = 1{,}5\)).

\[ \frac{1}{30} + \frac{1{,}5}{p'} = \frac{0{,}5}{10} \]\[ \Longrightarrow\quad \frac{1{,}5}{p'} = \frac{1}{60} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 90\ \text{cm} \]

L'image se forme dans le verre.

Symmetric biconvex lens

\(R_1 = 15\ \text{cm}\), \(R_2 = -15\ \text{cm}\), \(n = 1.5\).

\[ \frac{1}{f} = 0.5 \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{15} \]\[ \Longrightarrow\quad f = 15\ \text{cm} \]

\[ P = \frac{1}{0.15\ \text{m}} \approx 6.7\ \text{D} \]

With a 2 cm thickness: \(f \approx 15.34\ \text{cm}\), focus 14.66 cm from the exit vertex. The simulation finds it by exact ray tracing.

Plano-convex lens

\(R_1 = 20\ \text{cm}\), flat back face (\(R_2 = \infty\)), \(n = 1.5\).

\[ \frac{1}{f} = 0.5 \left( \frac{1}{20} - 0 \right) = \frac{1}{40} \]\[ \Longrightarrow\quad f = 40\ \text{cm} \]

Flip the lens (flat face towards the light): the focal length stays the same, but spherical aberration is much stronger. The curved face should face the parallel beam.

Image by a single surface: the glass ball

An object in air 30 cm from a convex glass surface (\(R = 10\ \text{cm}\), \(n = 1.5\)).

\[ \frac{1}{30} + \frac{1.5}{p'} = \frac{0.5}{10} \]\[ \Longrightarrow\quad \frac{1.5}{p'} = \frac{1}{60} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 90\ \text{cm} \]

The image forms inside the glass.

Vergence d'une lentille de 25 cm

\[ V = \frac{1}{0{,}25\ \text{m}} = 4\ \delta \]

Focale d'une lentille de −2 δ

\[ f = \frac{1}{V} = \frac{1}{-2} = -0{,}5\ \text{m} = -50\ \text{cm} \]

Lentille divergente : elle corrige la myopie.

Power of a 25 cm lens

\[ P = \frac{1}{0.25\ \text{m}} = 4\ \text{D} \]

Focal length of a −2 D lens

\[ f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-2} = -0.5\ \text{m} = -50\ \text{cm} \]

A diverging lens: it corrects short sight.

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

ExercicesExercises

Chapitre 3

Lentilles minces et instruments d'optique

On oublie l'épaisseur et on garde la focale. Trois rayons suffisent pour construire une image, et deux lentilles pour faire une lunette.

Chapter 3

Thin lenses and optical instruments

Forget the thickness and keep the focal length. Three rays are enough to construct an image, and two lenses make a telescope.

Maturité

Trois rayons particuliers

Un rayon qui passe par le centre optique O n'est pas dévié.
Un rayon parallèle à l'axe ressort en passant par le foyer image F'.
Un rayon qui passe par le foyer objet F ressort parallèle à l'axe.

L'image d'un point est à l'intersection des rayons émergents. Si ceux-ci divergent, on prolonge leurs droites vers l'arrière : l'image est virtuelle.

Maturité

Relation de conjugaison

Convention « réel positif » : \(p\) distance objet-lentille, \(p'\) distance lentille-image, positives si réels. \(f \gt 0\) : convergente, \(f \lt 0\) : divergente.

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \]\[ \gamma = -\frac{p'}{p} \]

\(p' \lt 0\) : image virtuelle, du même côté que l'objet. \(\gamma \lt 0\) : image renversée.

OS / OC

Convention algébrique (Descartes)

Distances orientées dans le sens de la lumière, mesurées depuis O : \(\overline{OA} \lt 0\) pour un objet réel.

\[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \]\[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]

Lien avec la convention précédente : \(\overline{OA} = -p\) et \(\overline{OA'} = p'\). Lentilles minces accolées : les vergences s'additionnent.

\[ V = V_1 + V_2 \]\[ \Longleftrightarrow\quad \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \]

Maturité

L'œil et le grossissement

L'œil normal voit net de l'infini (punctum remotum) jusqu'à environ 25 cm (punctum proximum). Ce qui compte pour voir des détails, c'est l'angle sous lequel on voit l'objet. Un instrument se caractérise par son grossissement

\[ G = \frac{\alpha'}{\alpha} \]

\(\alpha\) : angle à l'œil nu (objet au punctum proximum, ou à l'infini pour un astre). \(\alpha'\) : angle à travers l'instrument.

Maturité

Loupe, lunette, microscope

Loupe : objet au foyer, image à l'infini.

\[ G = \frac{d_{pp}}{f} = \frac{0{,}25\ \text{m}}{f} \]

Lunette astronomique (Kepler) : objectif \(f_1\), oculaire \(f_2\), séparés de \(f_1 + f_2\) (système afocal). Image renversée.

\[ G = \frac{f_1}{f_2} \]

Microscope : l'objectif donne une image réelle très agrandie, que l'oculaire observe comme une loupe. \(\Delta\) est l'intervalle optique (distance de F₁' à F₂).

\[ G = \lvert\gamma_{\text{obj}}\rvert \cdot G_{\text{oc}} \approx \frac{\Delta}{f_1} \cdot \frac{0{,}25\ \text{m}}{f_2} \]

OS / OC

Lunette de Galilée et correction de la vue

Avec un oculaire divergent (\(f_2 \lt 0\)) à la distance \(f_1 - \lvert f_2 \rvert\), l'image est droite : jumelles de théâtre.

Un œil myope voit net jusqu'à son punctum remotum PR seulement. Une lentille divergente posée contre l'œil ramène l'infini à PR :

\[ f = -\,\mathrm{PR} \]\[ V = -\frac{1}{\mathrm{PR}} \]

Un hypermétrope se corrige avec une lentille convergente.

Université

Pupilles et limite de résolution

Le diaphragme d'ouverture limite le flux. Son image par l'oculaire est la pupille de sortie, ou cercle oculaire. Pour une lunette :

\[ D_{\text{sortie}} = \frac{D_{\text{obj}}}{G} \]

Un grossissement élevé ne sert à rien au-delà de la diffraction. Le critère de Rayleigh (chapitre 5) donne

\[ \theta_{\min} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} \]

Le grossissement utile est celui qui amène \(\theta_{\min}\) à la résolution de l'œil, environ 1′ d'arc.

Matura

Three principal rays

A ray through the optical centre O is not deviated.
A ray parallel to the axis leaves through the image focus F'.
A ray through the object focus F leaves parallel to the axis.

The image of a point is where the emerging rays intersect. If they diverge, extend their lines backwards: the image is virtual.

Matura

Thin lens equation

"Real is positive" convention: \(p\) object-lens distance, \(p'\) lens-image distance, positive when real. \(f \gt 0\): converging, \(f \lt 0\): diverging.

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \]\[ \gamma = -\frac{p'}{p} \]

\(p' \lt 0\): virtual image, on the same side as the object. \(\gamma \lt 0\): inverted image.

Advanced

Cartesian sign convention

Distances are signed along the direction of light, measured from O: \(\overline{OA} \lt 0\) for a real object.

\[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \]\[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]

Link with the previous convention: \(\overline{OA} = -p\) and \(\overline{OA'} = p'\). Thin lenses in contact: the powers add.

\[ P = P_1 + P_2 \]\[ \Longleftrightarrow\quad \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \]

Matura

The eye and magnifying power

A normal eye focuses from infinity (far point) down to about 25 cm (near point). What matters for seeing detail is the angle under which the object is seen. An instrument is characterised by its angular magnification

\[ G = \frac{\alpha'}{\alpha} \]

\(\alpha\): angle with the naked eye (object at the near point, or at infinity for a star). \(\alpha'\): angle through the instrument.

Matura

Magnifier, telescope, microscope

Magnifying glass: object at the focus, image at infinity.

\[ G = \frac{d_{np}}{f} = \frac{0.25\ \text{m}}{f} \]

Astronomical telescope (Kepler): objective \(f_1\), eyepiece \(f_2\), separated by \(f_1 + f_2\) (afocal system). Inverted image.

\[ G = \frac{f_1}{f_2} \]

Microscope: the objective forms a strongly magnified real image, which the eyepiece views like a magnifier. \(\Delta\) is the optical tube length (distance from F₁' to F₂).

\[ G = \lvert\gamma_{\text{obj}}\rvert \times G_{\text{eye}} \approx \frac{\Delta}{f_1} \times \frac{0.25\ \text{m}}{f_2} \]

Advanced

Galilean telescope and vision correction

With a diverging eyepiece (\(f_2 \lt 0\)) at distance \(f_1 - \lvert f_2 \rvert\), the image is upright: opera glasses.

A short-sighted eye only focuses up to its far point FP. A diverging lens placed against the eye brings infinity to FP:

\[ f = -\,\mathrm{FP} \]\[ P = -\frac{1}{\mathrm{FP}} \]

Long sight is corrected with a converging lens.

University

Pupils and resolution limit

The aperture stop limits the light flux. Its image through the eyepiece is the exit pupil (eye ring). For a telescope:

\[ D_{\text{exit}} = \frac{D_{\text{obj}}}{G} \]

A large magnification is useless beyond the diffraction limit. The Rayleigh criterion (chapter 5) gives

\[ \theta_{\min} = 1.22\,\frac{\lambda}{D} \]

The useful magnification brings \(\theta_{\min}\) up to the eye's resolution, about 1′ of arc.

Primaire

L'œil, un appareil photo naturel

La lumière entre par la pupille, le petit rond noir. Le cristallin, une lentille, forme une image au fond de l'œil, sur la rétine. Le cerveau la transforme en ce que tu vois.

Dans le noir, la pupille s'agrandit pour laisser entrer plus de lumière.

Primaire

Des instruments pour mieux voir

Lunettes de vue : pour voir net.
Loupe : pour voir les petits objets en grand.
Microscope : pour voir l'invisible, comme les cellules.
Lunette astronomique : pour observer la Lune et les planètes.

Primaire

Expérience : la chambre noire

Perce un petit trou au fond d'une boîte à chaussures et remplace le couvercle par du papier calque.
Pointe le trou vers une fenêtre lumineuse, dans une pièce sombre.

Tu vois l'image du paysage sur le calque… à l'envers ! Les rayons se croisent en passant par le trou.

Primaire

Pourquoi porte-t-on des lunettes ?

Dans un œil parfait, l'image tombe pile sur la rétine. Chez certaines personnes, elle tombe un peu devant ou un peu derrière : tout est flou. Les lunettes ajoutent une lentille qui remet l'image au bon endroit.

Je retiens

L'œil a une lentille, le cristallin, qui forme l'image sur la rétine.
Les lunettes corrigent la vue.
Loupe, microscope et lunette utilisent des lentilles pour voir plus grand.

Petit lexique

Pupille: trou noir au centre de l'œil.
Cristallin: lentille de l'œil.
Rétine: fond de l'œil, où se forme l'image.
Grossir: faire paraître plus grand.

Primary

The eye, a natural camera

Light enters through the pupil, the small black circle. The lens of the eye forms an image at the back of the eye, on the retina. The brain turns it into what you see.

In the dark, the pupil gets bigger to let in more light.

Primary

Instruments to see better

Glasses: to see sharply.
Magnifying glass: to see small things bigger.
Microscope: to see the invisible, such as cells.
Telescope: to look at the Moon and the planets.

Primary

Experiment: the pinhole camera

Make a small hole in one end of a shoebox and replace the other end with tracing paper.
Point the hole at a bright window, in a dark room.

You see the picture of the view on the paper… upside down! The rays cross as they pass through the hole.

Primary

Why do people wear glasses?

In a perfect eye, the image lands exactly on the retina. For some people it lands a little in front or a little behind: everything is blurred. Glasses add a lens that puts the image back in the right place.

Remember

The eye has a lens that forms the image on the retina.
Glasses correct eyesight.
Magnifiers, microscopes and telescopes use lenses to see things bigger.

Word list

Pupil: black hole in the middle of the eye.
Eye lens: the lens inside the eye.
Retina: back of the eye, where the image forms.
Magnify: make something look bigger.

Secondaire I

Former une image

Avec une lentille convergente, on trouve l'image d'un objet avec deux rayons : celui qui passe par le centre (non dévié) et celui parallèle à l'axe (qui passe ensuite par le foyer). La simulation « Construire l'image » le montre.

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \]

\(p\) : distance objet-lentille. \(p'\) : distance lentille-image.

Secondaire I

Loupe et lunette

Une loupe grossit d'autant plus que sa focale est courte :

\[ G = \frac{25\ \text{cm}}{f} \]

Une lunette astronomique combine deux lentilles. Son grossissement est \(G = \dfrac{f_1}{f_2}\).

Secondaire I

Défauts de l'œil

Un œil myope voit flou de loin : on le corrige avec une lentille divergente. Un œil hypermétrope voit mal de près : lentille convergente.

Je retiens

\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'}\) ; objet au-delà de \(f\) : image réelle et renversée.
Objet entre la lentille et le foyer : image virtuelle et agrandie (loupe).
Loupe : \(G = 25\ \text{cm}/f\) ; lunette : \(G = f_1/f_2\).

Lower secondary

Forming an image

With a converging lens, the image of an object is found with two rays: the one through the centre (not bent) and the one parallel to the axis (which then passes through the focus). The "Constructing the image" simulation shows it.

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \]

\(p\): object-lens distance. \(p'\): lens-image distance.

Lower secondary

Magnifier and telescope

A magnifier magnifies more when its focal length is shorter:

\[ G = \frac{25\ \text{cm}}{f} \]

An astronomical telescope combines two lenses. Its magnifying power is \(G = \dfrac{f_1}{f_2}\).

Lower secondary

Eye defects

A short-sighted eye sees distant things blurred: it is corrected with a diverging lens. A long-sighted eye struggles up close: converging lens.

Remember

\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'}\); object beyond \(f\): real, inverted image.
Object between the lens and the focus: virtual, magnified image (magnifier).
Magnifier: \(G = 25\ \text{cm}/f\); telescope: \(G = f_1/f_2\).

À toi de jouer

Fais glisser la flèche blanche loin de la lentille : l'image orange est-elle à l'endroit ou à l'envers ?
Rapproche la flèche tout près de la lentille. Que devient l'image ? C'est ce que tu vois dans une loupe.

Your turn

Drag the white arrow far from the lens: is the orange image upright or upside down?
Bring the arrow very close to the lens. What happens to the image? That is what you see in a magnifier.

À toi de jouer

Trouve la position de l'objet où l'image a exactement la même taille que l'objet. Que vaut alors p par rapport à f ?
Place l'objet pile au foyer : que se passe-t-il ? Déduis-en à quoi sert une loupe tenue à la bonne distance.

Your turn

Find the object position where the image is exactly the same size as the object. How does p compare with f?
Put the object exactly at the focus: what happens? Deduce how a magnifier should be held.

Exemples résolusWorked examples

Image réelle par une lentille convergente

Objet de 2 cm à 30 cm d'une lentille de focale 10 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 15\ \text{cm} \]

\[ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{15}{30} = -0{,}5 \]

Image réelle, renversée, de 1 cm.

Loupe : image virtuelle

Objet à 4 cm d'une loupe de focale 5 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = -20\ \text{cm} \]

\[ \gamma = -\frac{-20}{4} = 5 \]

Image virtuelle, droite, cinq fois plus grande. Objet au foyer : \(G = \dfrac{25}{5} = 5\).

Lunette astronomique

Objectif 90 cm, oculaire 2,5 cm.

\[ G = \frac{f_1}{f_2} = \frac{90}{2{,}5} = 36 \]\[ L = f_1 + f_2 = 92{,}5\ \text{cm} \]

Microscope

Objectif 4 mm, oculaire 25 mm, intervalle optique 160 mm.

\[ G = \frac{\Delta}{f_1} \cdot \frac{250}{f_2} = \frac{160}{4} \cdot \frac{250}{25} = 40 \cdot 10 = 400 \]

Corriger une myopie

Punctum remotum à 50 cm. Lentille de contact divergente :

\[ f = -0{,}50\ \text{m} \]\[ V = \frac{1}{-0{,}50\ \text{m}} = -2\ \delta \]

Real image by a converging lens

A 2 cm object 30 cm from a lens of focal length 10 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 15\ \text{cm} \]

\[ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{15}{30} = -0.5 \]

Real, inverted image, 1 cm tall.

Magnifier: virtual image

An object 4 cm from a magnifier of focal length 5 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = -20\ \text{cm} \]

\[ \gamma = -\frac{-20}{4} = 5 \]

Virtual, upright image, five times larger. Object at the focus: \(G = \dfrac{25}{5} = 5\).

Astronomical telescope

Objective 90 cm, eyepiece 2.5 cm.

\[ G = \frac{f_1}{f_2} = \frac{90}{2.5} = 36 \]\[ L = f_1 + f_2 = 92.5\ \text{cm} \]

Microscope

Objective 4 mm, eyepiece 25 mm, optical tube length 160 mm.

\[ G = \frac{\Delta}{f_1} \times \frac{250}{f_2} = \frac{160}{4} \times \frac{250}{25} = 40 \times 10 = 400 \]

Correcting myopia

Far point at 50 cm. Diverging contact lens:

\[ f = -0.50\ \text{m} \]\[ P = \frac{1}{-0.50\ \text{m}} = -2\ \text{D} \]

Où se forme l'image ?

Lentille de 10 cm, objet à 30 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 15\ \text{cm} \]

Grossissement d'une loupe de 5 cm

\[ G = \frac{25}{5} = 5 \]

Where does the image form?

Lens of 10 cm, object at 30 cm.

\[ \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \]\[ \Longrightarrow\quad p' = 15\ \text{cm} \]

Magnifying power of a 5 cm magnifier

\[ G = \frac{25}{5} = 5 \]

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

ExercicesExercises

Chapitre 4

L'œil et la vision

Le plus courant des instruments d'optique. Comment il forme une image, comment il s'adapte, pourquoi il se trompe, et comment on le corrige.

Chapter 4

The eye and vision

The most common optical instrument. How it forms an image, how it adapts, why it gets things wrong, and how we correct it.

Primaire

Comment voit-on ?

Une lampe ou le Soleil éclaire un objet.
L'objet renvoie un peu de cette lumière.
Cette lumière entre dans ton œil par la pupille.
Le cristallin fait une petite image sur la rétine, au fond de l'œil.
Le nerf optique envoie l'image au cerveau, qui te dit ce que tu vois.

On voit avec les yeux… et avec le cerveau !

Primaire

Une image à l'envers

Comme dans la chambre noire, l'image sur la rétine est à l'envers. Pourtant tu vois le monde à l'endroit : c'est ton cerveau qui a appris à la retourner quand tu étais tout petit.

Primaire

La pupille s'adapte

Regarde tes yeux dans un miroir, puis éclaire-les doucement avec une lampe : la pupille rétrécit. Dans le noir, elle s'agrandit pour laisser entrer plus de lumière. Ça se fait tout seul, sans que tu y penses : c'est un réflexe.

Primaire

Voir de près et de loin

Le cristallin est souple. Pour regarder un objet tout proche, un petit muscle le rend plus bombé. Pour regarder loin, il se détend. Fixe ton doigt tout près, puis un objet au loin : tu sens peut-être un petit effort. On appelle ça accommoder.

Primaire

Couleurs le jour, gris la nuit

La rétine a deux sortes de capteurs. Les cônes voient les couleurs, mais seulement quand il y a assez de lumière. Les bâtonnets marchent dans la pénombre, mais ne voient pas les couleurs. C'est pour cela que la nuit, tout paraît gris.

Primaire

Deux yeux, c'est mieux

Chaque œil voit le monde d'un endroit un peu différent. Le cerveau compare les deux images pour savoir ce qui est près et ce qui est loin.

Expérience : ferme un œil et essaie de toucher la pointe d'un crayon tenu par quelqu'un d'autre avec la pointe de ton propre crayon. C'est bien plus dur !

Primaire

Prends soin de tes yeux

Ne regarde jamais le Soleil, même pas avec des lunettes de soleil, ni à travers une loupe ou des jumelles.
Ne vise jamais les yeux de quelqu'un avec un laser.
Fais des pauses quand tu lis ou regardes un écran : regarde au loin de temps en temps.

Je retiens

La lumière entre par la pupille, le cristallin fait une image sur la rétine.
L'image est à l'envers, le cerveau la remet à l'endroit.
La pupille s'adapte à la lumière ; le cristallin s'adapte à la distance.
Cônes : couleurs. Bâtonnets : vision de nuit.

Petit lexique

Cornée: fenêtre transparente à l'avant de l'œil.
Iris: partie colorée de l'œil.
Pupille: trou noir au centre de l'iris.
Cristallin: lentille souple de l'œil.
Rétine: écran au fond de l'œil.
Accommoder: faire la mise au point.

Primary

How do we see?

A lamp or the Sun lights an object.
The object sends back some of that light.
This light enters your eye through the pupil.
The eye lens makes a tiny picture on the retina, at the back of the eye.
The optic nerve sends the picture to the brain, which tells you what you see.

We see with our eyes… and with our brain!

Primary

An upside-down picture

As in a pinhole camera, the picture on the retina is upside down. Yet you see the world the right way up: your brain learnt to turn it round when you were a baby.

Primary

The pupil adapts

Look at your eyes in a mirror, then shine a torch gently at them: the pupil shrinks. In the dark, it grows to let in more light. It happens on its own, without you thinking about it: it is a reflex.

Primary

Seeing near and far

The eye lens is soft. To look at something very close, a small muscle makes it more curved. To look far away, it relaxes. Stare at your finger up close, then at something far away: you may feel a small effort. This is called focusing (accommodation).

Primary

Colours by day, grey by night

The retina has two kinds of sensors. Cones see colours, but only when there is enough light. Rods work in dim light, but do not see colours. That is why everything looks grey at night.

Primary

Two eyes are better

Each eye sees the world from a slightly different place. The brain compares the two pictures to work out what is near and what is far.

Experiment: close one eye and try to touch the tip of a pencil held by someone else with the tip of your own pencil. It is much harder!

Primary

Look after your eyes

Never look at the Sun, not even with sunglasses, nor through a magnifier or binoculars.
Never point a laser at anyone's eyes.
Take breaks when reading or using a screen: look into the distance now and then.

Remember

Light enters through the pupil, the eye lens makes a picture on the retina.
The picture is upside down; the brain turns it round.
The pupil adapts to light; the lens adapts to distance.
Cones: colours. Rods: night vision.

Word list

Cornea: clear window at the front of the eye.
Iris: coloured part of the eye.
Pupil: black hole in the middle of the iris.
Eye lens: soft lens inside the eye.
Retina: screen at the back of the eye.
Focus: make the picture sharp.

Secondaire I

L'œil, une lentille convergente

Cornée et cristallin forment ensemble une lentille convergente très forte, d'environ 60 δ (focale ≈ 17 mm). Elle forme sur la rétine une image réelle, renversée et très réduite.

La cornée fait à elle seule environ les deux tiers du travail. Le cristallin assure le réglage fin.

Secondaire I

Accommodation : PP et PR

La distance cristallin-rétine ne change pas. Pour garder une image nette quand l'objet se rapproche, le cristallin se bombe : sa vergence augmente.

Punctum remotum (PR) : le point le plus loin vu net, sans effort. Œil normal : à l'infini.
Punctum proximum (PP) : le point le plus proche vu net, avec l'effort maximal. Environ 25 cm chez un adulte jeune, moins chez un enfant.

Secondaire I

Les défauts de la vision

Myopie : œil trop convergent (souvent trop long). L'image d'un objet lointain se forme devant la rétine. PR proche. Correction : lentille divergente.
Hypermétropie : œil pas assez convergent (souvent trop court). L'image se forme derrière la rétine ; l'œil doit accommoder même pour voir loin. Correction : lentille convergente.
Presbytie : avec l'âge, le cristallin durcit et accommode moins. Le PP s'éloigne : on tend le bras pour lire. Correction : verres convergents pour la lecture.

Secondaire I

Cônes, bâtonnets et couleurs

Environ 100 millions de bâtonnets (vision de nuit) et 6 millions de cônes (couleurs, détails). Il existe trois sortes de cônes, sensibles surtout au bleu, au vert et au rouge-jaune. Le cerveau compare leurs signaux pour fabriquer toutes les couleurs : c'est pour cela qu'un écran n'a besoin que de trois couleurs.

Si un type de cône manque ou fonctionne mal, on confond certaines couleurs : c'est le daltonisme, qui touche environ 8 % des garçons.

Secondaire I

Le point aveugle

Là où le nerf optique quitte l'œil, il n'y a aucun récepteur. Chaque œil a donc un « trou » dans son champ de vision. On ne le remarque pas, car le cerveau complète l'image et l'autre œil voit cette zone. Fais le test plus bas.

Je retiens

Œil ≈ lentille de 60 δ ; image réelle et renversée sur la rétine.
Accommoder = augmenter la vergence du cristallin.
Myope : verre divergent ; hypermétrope et presbyte : verre convergent.
Trois sortes de cônes pour les couleurs.

Lower secondary

The eye, a converging lens

Together, the cornea and the eye lens form a very strong converging lens, about 60 D (focal length ≈ 17 mm). It forms on the retina an image that is real, inverted and very small.

The cornea alone does about two thirds of the work. The eye lens does the fine adjustment.

Lower secondary

Accommodation: near point and far point

The lens-retina distance does not change. To keep a sharp image as the object comes closer, the eye lens becomes more curved: its power increases.

Far point (FP): the furthest point seen sharply without effort. Normal eye: at infinity.
Near point (NP): the closest point seen sharply, with maximum effort. About 25 cm for a young adult, less for a child.

Lower secondary

Vision defects

Myopia (short sight): the eye converges too much (often too long). The image of a distant object forms in front of the retina. Near far point. Correction: diverging lens.
Hyperopia (long sight): the eye does not converge enough (often too short). The image forms behind the retina; the eye must accommodate even for distant objects. Correction: converging lens.
Presbyopia: with age, the eye lens stiffens and accommodates less. The near point moves away: people hold books at arm's length. Correction: converging reading glasses.

Lower secondary

Cones, rods and colours

About 100 million rods (night vision) and 6 million cones (colour, detail). There are three kinds of cones, most sensitive to blue, green and red-yellow. The brain compares their signals to build every colour: that is why a screen needs only three colours.

If one type of cone is missing or faulty, some colours get confused: this is colour blindness, which affects about 8% of boys.

Lower secondary

The blind spot

Where the optic nerve leaves the eye, there are no receptors at all. So each eye has a "hole" in its field of view. We do not notice it, because the brain fills in the picture and the other eye sees that area. Try the test below.

Remember

Eye ≈ 60 D lens; real, inverted image on the retina.
Accommodating = increasing the eye lens's power.
Short sight: diverging lens; long sight and presbyopia: converging lens.
Three kinds of cones for colour.

Maturité

L'œil réduit

On modélise l'œil par un seul dioptre équivalent de vergence \(V\), suivi d'un milieu d'indice \(n' \approx 1{,}336\) (humeur vitrée). Une image est nette si elle se forme sur la rétine, à la distance \(\ell\) :

\[ \frac{n'}{\ell} = V - \frac{1}{p} \]

Avec \(V \approx 60\ \delta\) au repos, \(\ell \approx 1{,}336/60\ \text{m} \approx 22\ \text{mm}\). Pour un objet à \(p\), il faut une vergence plus grande de \(1/p\) : c'est l'accommodation.

Maturité

Amplitude d'accommodation

La vergence peut varier entre la valeur au repos (objet au PR) et la valeur maximale (objet au PP). L'écart est l'amplitude d'accommodation :

\[ A = \frac{1}{\mathrm{PP}} - \frac{1}{\mathrm{PR}} \]

Elle diminue avec l'âge : environ 15 δ vers 10 ans, 11 δ vers 25 ans, 3 δ vers 50 ans. Une formule empirique (Hofstetter) : \(A \approx 18{,}5 - 0{,}3 \times \text{âge}\) en dioptries.

Maturité

Corriger un œil

On place une lentille (vergence \(C\)) qui, d'un objet à l'infini, fait une image virtuelle au PR. Pour une lentille de contact :

\[ C = -\frac{1}{\mathrm{PR}} \]

Myope (PR à distance finie) : \(C \lt 0\). Hypermétrope : le PR est « au-delà de l'infini », virtuel derrière l'œil, et \(C \gt 0\). Pour un presbyte qui veut lire à \(d\) : \(C = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\mathrm{PP}}\).

Maturité

Acuité visuelle

Un œil normal sépare deux points vus sous un angle d'environ \(1'\) (une minute d'arc), ce qui correspond à une acuité de 10/10. Une lettre de l'échelle de 10/10 est vue sous \(5'\). Une vision de 5/10 demande des lettres deux fois plus grandes.

OS / OC

D'où viennent les 60 dioptries ?

Face avant de la cornée : air → cornée (\(n \approx 1{,}376\)), rayon \(R \approx 7{,}8\ \text{mm}\) :

\[ V_1 = \frac{1{,}376 - 1}{0{,}0078} \approx 48\ \delta \]

La face arrière (vers l'humeur aqueuse, \(n = 1{,}336\)) retire environ 6 δ ; la cornée vaut donc ≈ 43 δ. Le cristallin, à gradient d'indice (≈ 1,39 à 1,41), apporte ≈ 20 δ au repos. Sous l'eau, le premier dioptre ne vaut plus que \((1{,}376 - 1{,}333)/0{,}0078 \approx 5{,}5\ \delta\) : on voit très flou.

OS / OC

Astigmatisme et vision des couleurs

Une cornée plus bombée dans une direction que dans l'autre n'a pas la même vergence selon l'orientation : les traits verticaux et horizontaux ne sont pas nets ensemble. On corrige avec une lentille torique (cylindrique).

Les trois cônes S, M, L ont leur sensibilité maximale vers 420-440 nm, 530-535 nm et 560-565 nm. La sensibilité globale de jour culmine à 555 nm, celle de nuit (bâtonnets) à 507 nm : c'est l'effet Purkinje, le rouge s'assombrit le premier au crépuscule.

Université

Limites physiques de l'acuité

Diffraction par la pupille : pour \(D = 3\ \text{mm}\) et \(\lambda = 550\ \text{nm}\),

\[ \theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} \approx 2{,}2 \cdot 10^{-4}\ \text{rad} \approx 0{,}8' \]

Échantillonnage : les cônes fovéaux sont espacés d'environ 2,5 µm, soit ≈ 0,5′ vu du centre optique (≈ 17 mm). Le critère de Nyquist (deux cônes par période) donne une limite ≈ 1′. Optique et rétine sont donc bien accordées. Au-delà de ~3 mm de pupille, les aberrations (sphérique, chromatique) dominent ; en dessous, c'est la diffraction.

Université

Un détecteur à photons

Un bâtonnet adapté à l'obscurité répond à l'absorption d'un seul photon (isomérisation de la rhodopsine, cascade d'amplification). La perception consciente demande quelques photons absorbés en peu de temps (expérience de Hecht, Shlaer et Pirenne, 1942). La plage de fonctionnement de l'œil couvre environ \(10^{10}\) en luminance grâce à l'adaptation de la pupille, des pigments et des circuits rétiniens.

Matura

The reduced eye

The eye is modelled by a single equivalent refracting surface of power \(P\), followed by a medium of index \(n' \approx 1.336\) (vitreous humour). An image is sharp if it forms on the retina, at distance \(\ell\):

\[ \frac{n'}{\ell} = P - \frac{1}{p} \]

With \(P \approx 60\ \text{D}\) at rest, \(\ell \approx 1.336/60\ \text{m} \approx 22\ \text{mm}\). For an object at \(p\), the power must increase by \(1/p\): this is accommodation.

Matura

Amplitude of accommodation

The power can vary between its resting value (object at the far point) and its maximum (object at the near point). The difference is the amplitude of accommodation:

\[ A = \frac{1}{\mathrm{NP}} - \frac{1}{\mathrm{FP}} \]

It decreases with age: about 15 D around age 10, 11 D around 25, 3 D around 50. An empirical formula (Hofstetter): \(A \approx 18.5 - 0.3 \times \text{age}\) in dioptres.

Matura

Correcting an eye

A lens of power \(C\) is placed so that it images an object at infinity onto a virtual image at the far point. For a contact lens:

\[ C = -\frac{1}{\mathrm{FP}} \]

Myope (finite far point): \(C \lt 0\). Hyperope: the far point is "beyond infinity", virtual behind the eye, and \(C \gt 0\). For a presbyope who wants to read at \(d\): \(C = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\mathrm{NP}}\).

Matura

Visual acuity

A normal eye separates two points seen about \(1'\) (one arcminute) apart, which corresponds to 20/20 vision (6/6). A 20/20 letter on an eye chart subtends \(5'\). 20/40 vision needs letters twice as large.

Advanced

Where do the 60 dioptres come from?

Front surface of the cornea: air → cornea (\(n \approx 1.376\)), radius \(R \approx 7.8\ \text{mm}\):

\[ P_1 = \frac{1.376 - 1}{0.0078} \approx 48\ \text{D} \]

The back surface (towards the aqueous humour, \(n = 1.336\)) removes about 6 D, so the cornea gives ≈ 43 D. The gradient-index eye lens (≈ 1.39 to 1.41) adds ≈ 20 D at rest. Underwater, the first surface is only \((1.376 - 1.333)/0.0078 \approx 5.5\ \text{D}\): everything is very blurred.

Advanced

Astigmatism and colour vision

A cornea more curved in one direction than the other has a different power depending on orientation: vertical and horizontal lines are not sharp together. It is corrected with a toric (cylindrical) lens.

The three cones S, M, L peak around 420-440 nm, 530-535 nm and 560-565 nm. Overall daytime sensitivity peaks at 555 nm, night-time (rods) at 507 nm: this is the Purkinje effect, red darkens first at dusk.

University

Physical limits of acuity

Diffraction by the pupil: for \(D = 3\ \text{mm}\) and \(\lambda = 550\ \text{nm}\),

\[ \theta = 1.22\,\frac{\lambda}{D} \approx 2.2 \times 10^{-4}\ \text{rad} \approx 0.8' \]

Sampling: foveal cones are about 2.5 µm apart, ≈ 0.5′ seen from the optical centre (≈ 17 mm). The Nyquist criterion (two cones per period) gives a limit ≈ 1′. Optics and retina are well matched. Above ~3 mm pupil, aberrations (spherical, chromatic) dominate; below, diffraction does.

University

A photon detector

A dark-adapted rod responds to the absorption of a single photon (rhodopsin isomerisation, amplification cascade). Conscious perception requires a few photons absorbed within a short time (Hecht, Shlaer and Pirenne, 1942). The eye works over about \(10^{10}\) in luminance thanks to adaptation of the pupil, the pigments and retinal circuits.

À toi de jouer

Clique sur chaque partie de l'œil pour savoir à quoi elle sert.
Peux-tu montrer le chemin de la lumière, de la cornée jusqu'au cerveau ?

Your turn

Click each part of the eye to find out what it does.
Can you trace the path of light, from the cornea to the brain?

À toi de jouer

Repère les parties qui dévient la lumière, et celle qui règle la quantité de lumière.
Où est la fovéa ? Pourquoi place-t-on l'image de ce qu'on regarde exactement là ?

Your turn

Find the parts that bend light, and the one that controls the amount of light.
Where is the fovea? Why do we put the image of what we look at exactly there?

À toi de jouer

Choisis un objet tout proche (10 cm), puis un objet très loin. Est-ce que l'œil voit net les deux ?
Choisis « Œil myope ». Que vois-tu de loin ? Essaie des lunettes.
Mets l'âge à 70 ans et regarde un livre à 25 cm. Pourquoi les grands-parents ont-ils des lunettes pour lire ?

Your turn

Pick a very close object (10 cm), then a very far one. Does the eye see both sharply?
Choose "Short-sighted eye". What do you see far away? Try glasses.
Set the age to 70 and look at a book at 25 cm. Why do grandparents have reading glasses?

À toi de jouer

Œil normal, 15 ans : trouve le PP en rapprochant l'objet jusqu'à ce que l'image devienne floue.
Œil myope : où se forme l'image d'un objet lointain ? Quelle vergence de lunettes la ramène sur la rétine ?
Réduis la pupille : le flou diminue-t-il ? Déduis pourquoi on plisse les yeux quand on voit mal.

Your turn

Normal eye, age 15: find the near point by bringing the object closer until the image blurs.
Short-sighted eye: where does the image of a distant object form? What lens power brings it back onto the retina?
Make the pupil smaller: does the blur shrink? Deduce why people squint when they cannot see well.

Piste de travail : pour chaque type d'œil, relevez PP et PR, puis calculez l'amplitude d'accommodation et comparez avec \(18{,}5 - 0{,}3 \times \text{âge}\). Vérifiez que la correction calculée \(C = -1/\mathrm{PR}\) ramène le PR à l'infini.

Worksheet idea: for each eye type, record the near and far points, compute the amplitude of accommodation and compare with \(18.5 - 0.3 \times \text{age}\). Check that the computed correction \(C = -1/\mathrm{FP}\) brings the far point to infinity.

Test du point aveugleBlind spot test

Ferme l'œil gauche. Avec l'œil droit, fixe la croix sans jamais la quitter des yeux. Rapproche lentement ton visage de l'écran, puis éloigne-le (vers 25 à 40 cm) : à un moment, le disque disparaît. Son image tombe sur ton point aveugle. Remarque que le cerveau ne laisse pas de trou : il « peint » la zone avec la couleur du fond.

Close your left eye. With your right eye, stare at the cross and never look away from it. Slowly bring your face towards the screen, then away (around 25 to 40 cm): at some point the disc vanishes. Its image falls on your blind spot. Notice that the brain leaves no hole: it "paints" the area with the background colour.

À toi de jouer

Choisis une longueur d'onde et regarde quels cônes réagissent. Pour quelle couleur les cônes M et L réagissent-ils autant ?
Choisis un daltonisme et compare les deux spectres : quelles couleurs deviennent identiques ? Regarde aussi les paires de couleurs.

Your turn

Choose a wavelength and see which cones respond. For which colour do M and L cones respond equally?
Choose a colour deficiency and compare the two spectra: which colours become identical? Look at the colour pairs too.

Exemples résolusWorked examples

Corriger un myope

Le PR d'un élève myope est à 50 cm. Lentille de contact :

\[ V = -\frac{1}{0{,}5\ \text{m}} = -2\ \delta \]

L'effort pour lire

Un œil normal regarde un livre à 25 cm. Il doit augmenter sa vergence de

\[ \frac{1}{0{,}25} = 4\ \delta \]

Correcting a short-sighted pupil

A short-sighted pupil's far point is at 50 cm. Contact lens:

\[ P = -\frac{1}{0.5\ \text{m}} = -2\ \text{D} \]

The effort of reading

A normal eye looks at a book 25 cm away. It must increase its power by

\[ \frac{1}{0.25} = 4\ \text{D} \]

Amplitude d'accommodation

Un œil normal (PR à l'infini) a son PP à 20 cm.

\[ A = \frac{1}{0{,}20} - \frac{1}{\infty} = 5\ \delta \]

Selon Hofstetter, cela correspond à environ \((18{,}5 - 5)/0{,}3 = 45\) ans.

Lunettes de lecture d'un presbyte

PP à 1 m, on veut lire à 25 cm :

\[ C = \frac{1}{0{,}25} - \frac{1}{1} = 3\ \delta \]

Taille d'une lettre 10/10

À 5 m, une lettre vue sous \(5' = 1{,}45 \cdot 10^{-3}\ \text{rad}\) mesure

\[ h = 5\ \text{m} \cdot 1{,}45 \cdot 10^{-3} \approx 7{,}3\ \text{mm} \]

Amplitude of accommodation

A normal eye (far point at infinity) has its near point at 20 cm.

\[ A = \frac{1}{0.20} - \frac{1}{\infty} = 5\ \text{D} \]

According to Hofstetter, this corresponds to about \((18.5 - 5)/0.3 = 45\) years.

Reading glasses for a presbyope

Near point at 1 m, wants to read at 25 cm:

\[ C = \frac{1}{0.25} - \frac{1}{1} = 3\ \text{D} \]

Size of a 20/20 letter

At 5 m, a letter subtending \(5' = 1.45 \times 10^{-3}\ \text{rad}\) is

\[ h = 5\ \text{m} \times 1.45 \times 10^{-3} \approx 7.3\ \text{mm} \]

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

ExercicesExercises

Chapitre 5

Optique ondulatoire et interférences

Quand deux ondes se superposent, elles peuvent se renforcer ou s'annuler. Le modèle du rayon ne le prévoit pas, l'onde si.

Chapter 5

Wave optics and interference

When two waves overlap, they can reinforce or cancel each other. The ray model cannot predict this; the wave model can.

Maturité

Superposition et différence de marche

Deux ondes de même fréquence, issues d'une même source, arrivent en un point avec une différence de chemin \(\delta\) (différence de marche).

\[ \delta = m\,\lambda \;:\; \text{constructive} \]\[ \delta = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \;:\; \text{destructive} \]

avec \(m\) entier. Il faut des sources cohérentes : deux lampes distinctes n'interfèrent pas de façon visible. On divise donc une même onde, avec deux fentes par exemple.

Maturité

Fentes de Young (1801)

Deux fentes fines séparées de \(a\), écran à la distance \(D \gg a\). Au point d'abscisse \(x\) sur l'écran :

\[ \delta \approx \frac{a\,x}{D} \]\[ \Longrightarrow\quad x_m = m\,\frac{\lambda D}{a} \]

Les franges brillantes sont équidistantes. Leur écart est l'interfrange :

\[ i = \frac{\lambda D}{a} \]

Mesurer \(i\) permet de mesurer une longueur d'onde avec une règle.

OS / OC

Diffraction par une fente

Une fente de largeur \(b\) étale la lumière. Les minima sont en

\[ b \sin\theta = m\,\lambda \quad (m \neq 0) \]

La tache centrale a pour largeur

\[ \ell = \frac{2\,\lambda D}{b} \]

Avec deux fentes réelles, les franges de Young sont modulées par cette enveloppe de diffraction.

OS / OC

Réseau et couches minces

Un réseau de pas \(d\) (beaucoup de fentes) donne des maxima très fins en

\[ d \sin\theta = m\,\lambda \]\[ m_{\max} \lt \frac{d}{\lambda} \]

Chaque couleur sort à un angle différent : c'est un spectromètre.

Une couche mince d'épaisseur \(e\) et d'indice \(n\) fait interférer les reflets de ses deux faces. Couche antireflet (indice entre l'air et le verre) :

\[ 2 n e = \frac{\lambda}{2} \]\[ \Longrightarrow\quad e = \frac{\lambda}{4n} \]

Université

Intensité de N fentes (Fraunhofer)

\[ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^{2} \left( \frac{\sin\!\left( N\varphi/2 \right)}{N \sin\!\left( \varphi/2 \right)} \right)^{2} \]

\[ \beta = \frac{\pi b \sin\theta}{\lambda} \]\[ \varphi = \frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda} \]

Le premier facteur vient de la transformée de Fourier d'une fente, le second du réseau de \(N\) fentes. Pouvoir de résolution d'un réseau et critère de Rayleigh pour une ouverture circulaire de diamètre \(D\) :

\[ \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = m N \]\[ \sin\theta_{\min} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} \]

Université

Cohérence

Une source réelle a une largeur spectrale \(\Delta\lambda\). Les franges disparaissent quand la différence de marche dépasse la longueur de cohérence

\[ \ell_c \approx \frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} \]

En lumière blanche, on ne voit que quelques franges colorées autour de la frange centrale : essaie le mode « blanche » de la simulation.

Une source étendue réduit la cohérence spatiale. Le contraste des franges est relié à la transformée de Fourier de sa répartition d'intensité (théorème de Van Cittert-Zernike).

OS / OC

D'où vient le principe de Fermat ?

Selon Huygens, puis Feynman, la lumière explore tous les chemins ; chacun apporte une amplitude de phase \(\varphi = 2\pi L/\lambda\). Autour d'un chemin où \(L\) est stationnaire, les phases varient peu et s'additionnent. Ailleurs elles tournent vite et se compensent. Le rayon de l'optique géométrique est ce chemin stationnaire : Fermat est la limite \(\lambda \to 0\) de l'optique ondulatoire.

Matura

Superposition and path difference

Two waves of the same frequency, from the same source, reach a point with a difference in path length \(\delta\) (path difference).

\[ \delta = m\,\lambda \;:\; \text{constructive} \]\[ \delta = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \;:\; \text{destructive} \]

with \(m\) an integer. The sources must be coherent: two separate lamps do not produce visible interference. So we split a single wave, with two slits for instance.

Matura

Young's double slit (1801)

Two narrow slits a distance \(a\) apart, screen at distance \(D \gg a\). At position \(x\) on the screen:

\[ \delta \approx \frac{a\,x}{D} \]\[ \Longrightarrow\quad x_m = m\,\frac{\lambda D}{a} \]

The bright fringes are equally spaced. Their separation is the fringe spacing:

\[ i = \frac{\lambda D}{a} \]

Measuring \(i\) lets you measure a wavelength with a ruler.

Advanced

Single-slit diffraction

A slit of width \(b\) spreads the light. The minima are at

\[ b \sin\theta = m\,\lambda \quad (m \neq 0) \]

The central maximum has width

\[ \ell = \frac{2\,\lambda D}{b} \]

With two real slits, Young's fringes are modulated by this diffraction envelope.

Advanced

Gratings and thin films

A grating of pitch \(d\) (many slits) gives very sharp maxima at

\[ d \sin\theta = m\,\lambda \]\[ m_{\max} \lt \frac{d}{\lambda} \]

Each colour leaves at a different angle: it is a spectrometer.

A thin film of thickness \(e\) and index \(n\) makes the reflections from its two faces interfere. Anti-reflection coating (index between air and glass):

\[ 2 n e = \frac{\lambda}{2} \]\[ \Longrightarrow\quad e = \frac{\lambda}{4n} \]

University

Intensity of N slits (Fraunhofer)

\[ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^{2} \left( \frac{\sin\!\left( N\varphi/2 \right)}{N \sin\!\left( \varphi/2 \right)} \right)^{2} \]

\[ \beta = \frac{\pi b \sin\theta}{\lambda} \]\[ \varphi = \frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda} \]

The first factor is the Fourier transform of one slit, the second the array factor of \(N\) slits. Resolving power of a grating, and Rayleigh criterion for a circular aperture of diameter \(D\):

\[ \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = m N \]\[ \sin\theta_{\min} = 1.22\,\frac{\lambda}{D} \]

University

Coherence

A real source has a spectral width \(\Delta\lambda\). Fringes vanish when the path difference exceeds the coherence length

\[ \ell_c \approx \frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} \]

In white light, only a few coloured fringes are visible around the central fringe: try the "white light" mode in the simulation.

An extended source reduces spatial coherence. The fringe contrast is related to the Fourier transform of its intensity distribution (Van Cittert-Zernike theorem).

Advanced

Where does Fermat's principle come from?

Following Huygens, then Feynman, light explores every path; each contributes an amplitude with phase \(\varphi = 2\pi L/\lambda\). Around a path where \(L\) is stationary, the phases change little and add up. Elsewhere they rotate quickly and cancel. The ray of geometrical optics is that stationary path: Fermat is the \(\lambda \to 0\) limit of wave optics.

Primaire

La lumière est aussi une vague

Lance deux cailloux dans une flaque : les vagues se croisent. À certains endroits elles s'ajoutent et font de grosses vagues, à d'autres elles s'annulent et l'eau reste calme. Regarde la « Cuve à ondes » plus bas.

La lumière se comporte aussi comme une vague, mais minuscule.

Primaire

Les couleurs des bulles de savon

Une bulle de savon est très fine. La lumière se reflète sur ses deux faces, et ces deux reflets s'ajoutent ou s'annulent selon la couleur. C'est pour cela qu'on voit des couleurs qui bougent.

Primaire

Expérience : l'arc-en-ciel du CD

Prends un vieux CD ou DVD.
Incline-le sous une lampe.

Les petits sillons très serrés séparent la lumière blanche en couleurs. On appelle ça un réseau.

Je retiens

La lumière est aussi une onde, comme les vagues.
Deux ondes peuvent s'ajouter ou s'annuler.
C'est ce qui colore les bulles de savon et les CD.

Petit lexique

Onde: vibration qui se déplace, comme une vague.
Crête: sommet d'une vague.
Creux: bas d'une vague.

Primary

Light is also a wave

Throw two pebbles into a puddle: the waves cross. In some places they add up to make big waves, in others they cancel and the water stays calm. Look at the "Ripple tank" below.

Light behaves like a wave too, only a tiny one.

Primary

The colours of soap bubbles

A soap bubble is very thin. Light reflects off both of its faces, and the two reflections add up or cancel depending on the colour. That is why we see moving colours.

Primary

Experiment: a CD rainbow

Take an old CD or DVD.
Tilt it under a lamp.

The tiny, closely packed grooves split white light into colours. This is called a grating.

Remember

Light is also a wave, like water waves.
Two waves can add up or cancel.
That is what colours soap bubbles and CDs.

Word list

Wave: a moving vibration, like a water wave.
Crest: top of a wave.
Trough: bottom of a wave.

Secondaire I

Décrire une onde

Une onde se répète. Sa longueur d'onde \(\lambda\) est la distance entre deux crêtes. Sa fréquence \(f\) est le nombre de crêtes qui passent par seconde (en hertz). Sa vitesse vaut

\[ v = \lambda \cdot f \]

Pour la lumière, \(v = c\) et \(\lambda\) est de quelques centaines de nanomètres.

Secondaire I

Interférences

Deux ondes qui se rencontrent s'ajoutent. Crête + crête : onde plus forte (interférence constructive). Crête + creux : elles s'annulent (interférence destructive). Avec deux fentes, on obtient des bandes claires et sombres : les franges de Young.

Secondaire I

Pourquoi Fermat a raison

Une onde « essaie » tous les chemins à la fois. Sur les chemins proches du plus rapide, les ondes arrivent presque en même temps : elles s'ajoutent. Sur les autres, elles arrivent décalées et s'annulent. Il ne reste que le chemin le plus rapide : c'est le rayon.

Je retiens

\(v = \lambda \cdot f\).
Crête + crête : constructive ; crête + creux : destructive.
Fentes de Young : bandes claires et sombres.

Lower secondary

Describing a wave

A wave repeats itself. Its wavelength \(\lambda\) is the distance between two crests. Its frequency \(f\) is the number of crests passing per second (in hertz). Its speed is

\[ v = \lambda \times f \]

For light, \(v = c\) and \(\lambda\) is a few hundred nanometres.

Lower secondary

Interference

Two waves that meet add together. Crest + crest: a stronger wave (constructive interference). Crest + trough: they cancel (destructive interference). With two slits you get bright and dark bands: Young's fringes.

Lower secondary

Why Fermat is right

A wave "tries" every path at once. Along paths close to the fastest one, the waves arrive almost together: they add up. Along the others, they arrive out of step and cancel. Only the fastest path remains: that is the ray.

Remember

\(v = \lambda \times f\).
Crest + crest: constructive; crest + trough: destructive.
Young's slits: bright and dark bands.

À toi de jouer

Regarde les bandes de lumière : combien en comptes-tu ?
Change la couleur : les bandes bleues sont-elles plus serrées ou plus écartées que les rouges ?
Coche « Lumière blanche » : d'où viennent les couleurs ?

Your turn

Look at the bands of light: how many can you count?
Change the colour: are blue bands closer together or further apart than red ones?
Tick "White light": where do the colours come from?

À toi de jouer

Prédis : si on rapproche les fentes (a plus petit), les franges s'écartent-elles ou se resserrent-elles ? Vérifie.
Double D : que devient l'interfrange ? Déduis-en la règle.

Your turn

Predict: if the slits get closer (smaller a), do the fringes spread out or squeeze together? Check.
Double D: what happens to the fringe spacing? Deduce the rule.

À toi de jouer

Cherche les zones où l'eau reste calme alors que deux vagues y arrivent.
Éloigne les deux sources : y a-t-il plus ou moins de zones calmes ?

Your turn

Look for the places where the water stays calm although two waves arrive there.
Move the two sources apart: are there more or fewer calm zones?

À toi de jouer

Passe en « Intensité moyenne ». Compte les lignes calmes et compare au rapport a/λ affiché. Quelle règle trouves-tu ?

Your turn

Switch to "Mean intensity". Count the calm lines and compare with the ratio a/λ shown. What rule do you find?

Exemples résolusWorked examples

Interfrange avec un laser He-Ne

\(\lambda = 632{,}8\ \text{nm}\), \(a = 0{,}50\ \text{mm}\), \(D = 2{,}0\ \text{m}\).

\[ i = \frac{\lambda D}{a} = \frac{632{,}8 \cdot 10^{-9} \cdot 2{,}0}{0{,}50 \cdot 10^{-3}} \approx 2{,}53 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 2{,}53\ \text{mm} \]

Mesurer une longueur d'onde

On compte 10 interfranges sur 21,8 mm, avec \(a = 0{,}25\ \text{mm}\) et \(D = 1{,}00\ \text{m}\). Donc \(i = 2{,}18\ \text{mm}\).

\[ \lambda = \frac{i\,a}{D} = \frac{2{,}18 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}25 \cdot 10^{-3}}{1{,}00} = 545\ \text{nm} \]

Le vert. Mesurer plusieurs interfranges d'un coup réduit l'erreur relative.

Réseau de 600 traits par mm

\[ d = \frac{1}{600}\ \text{mm} = 1{,}667\ \mu\text{m} \]

\[ \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d} = \frac{0{,}550}{1{,}667} = 0{,}330 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_1 \approx 19{,}3^\circ \]

Ordre maximal : \(\dfrac{d}{\lambda} = 3{,}03\), donc 3 ordres de chaque côté.

Couche antireflet

Fluorure de magnésium (\(n = 1{,}38\)) sur verre, optimisé pour 550 nm.

\[ e = \frac{\lambda}{4n} = \frac{550}{4 \cdot 1{,}38} \approx 99{,}6\ \text{nm} \]

Fringe spacing with a He-Ne laser

\(\lambda = 632.8\ \text{nm}\), \(a = 0.50\ \text{mm}\), \(D = 2.0\ \text{m}\).

\[ i = \frac{\lambda D}{a} = \frac{632.8 \times 10^{-9} \times 2.0}{0.50 \times 10^{-3}} \approx 2.53 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2.53\ \text{mm} \]

Measuring a wavelength

10 fringe spacings measure 21.8 mm, with \(a = 0.25\ \text{mm}\) and \(D = 1.00\ \text{m}\). So \(i = 2.18\ \text{mm}\).

\[ \lambda = \frac{i\,a}{D} = \frac{2.18 \times 10^{-3} \times 0.25 \times 10^{-3}}{1.00} = 545\ \text{nm} \]

Green. Measuring several fringe spacings at once reduces the relative error.

A grating with 600 lines per mm

\[ d = \frac{1}{600}\ \text{mm} = 1.667\ \mu\text{m} \]

\[ \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d} = \frac{0.550}{1.667} = 0.330 \]\[ \Longrightarrow\quad \theta_1 \approx 19.3^\circ \]

Highest order: \(\dfrac{d}{\lambda} = 3.03\), so 3 orders on each side.

Anti-reflection coating

Magnesium fluoride (\(n = 1.38\)) on glass, optimised for 550 nm.

\[ e = \frac{\lambda}{4n} = \frac{550}{4 \times 1.38} \approx 99.6\ \text{nm} \]

Vitesse d'une vague

Des vagues de 3 m de longueur d'onde passent 2 fois par seconde.

\[ v = \lambda \cdot f = 3\ \text{m} \cdot 2\ \text{Hz} = 6\ \text{m/s} \]

Speed of a water wave

Waves with a 3 m wavelength pass twice per second.

\[ v = \lambda \times f = 3\ \text{m} \times 2\ \text{Hz} = 6\ \text{m/s} \]

Énigmes : prédis, puis vérifiePuzzles: predict, then check

ExercicesExercises

Atelier

Banc d'optique libre

Place tes sources et tes composants, règle-les, mesure. Chaque rayon est calculé avec les lois de Snell-Descartes et de la réflexion, réflexion totale comprise.

Workshop

Free optical bench

Place your sources and components, adjust them, measure. Every ray is computed with Snell's law and the law of reflection, total internal reflection included.

Sources

MilieuxMedia

ComposantsComponents

Montages prêtsReady-made set-ups

Milieu ambiantSurrounding medium n = 1,000

Reflets partiels (Fresnel)Partial reflections (Fresnel) Magnétisme (0,5 cm, 15°)Snap (0.5 cm, 15°) GrilleGrid Afficher les indicesShow refractive indices Marquer les réflexions totalesMark total internal reflections

ManipulerHandling

Glisse un composant pour le déplacer. La pastille ambrée le fait tourner (Maj : par pas de 15°). Glisse le fond pour te déplacer, molette ou boutons pour zoomer. Suppr efface la sélection, D la duplique.

Drag a component to move it. The amber dot rotates it (Shift: 15° steps). Drag the background to pan, use the wheel or buttons to zoom. Delete removes the selection, D duplicates it.

MesurerMeasuring

L'outil Règle trace un segment et affiche sa longueur (cm) et son angle par rapport à l'horizontale. Pratique pour relever un angle de réfraction ou la position d'un foyer.

The Ruler tool draws a segment and shows its length (cm) and its angle to the horizontal. Handy for reading an angle of refraction or the position of a focus.

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