La physique compare le monde à des étalons. Tant que l'étalon est un objet, il peut s'user, se perdre ou varier. Toute l'histoire du Système international (SI) est celle d'une quête : des étalons de plus en plus universels et reproductibles.

Le chapitre suit cette histoire. D'abord, ce qu'est une grandeur et une mesure. Ensuite, les définitions de la Révolution française, qui donnent une intuition solide : 1 m, c'est à peu près un grand pas ; 1 kg, c'est un litre d'eau ; 1 s, c'est environ un battement de cœur au repos. Puis les définitions de 2019, fondées sur des constantes physiques. Enfin les outils de tous les jours du physicien : unités dérivées, notation scientifique, ordres de grandeur et analyse dimensionnelle.

Physics compares the world with standards. As long as a standard is an object, it can wear out, get lost or change. The whole history of the International System of Units (SI) is a quest for standards that are more and more universal and reproducible.

The chapter follows that history. First, what a quantity and a measurement are. Then the definitions of the French Revolution, which give solid intuition: 1 m is roughly a long stride; 1 kg is a litre of water; 1 s is about one heartbeat at rest. Then the 2019 definitions, based on physical constants. Finally the physicist's everyday tools: derived units, scientific notation, orders of magnitude and dimensional analysis.

Valeur numérique et unité

Une grandeur physique \(G\) s'écrit comme le produit d'une valeur numérique \(\{G\}\) et d'une unité \([G]\) :

La grandeur ne dépend pas de l'unité choisie. Seule la valeur numérique change : \(1{,}5\ \text{m} = 150\ \text{cm} = 1500\ \text{mm}\). Quand l'unité devient 100 fois plus petite, le nombre devient 100 fois plus grand. Le produit reste le même.

C'est ce qui permet de convertir proprement : on remplace l'unité par sa valeur dans l'autre unité, puis on calcule. Par exemple, \(1\ \text{km/h} = \dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}\).

Mesurer, c'est comparer à un étalon

Mesurer une grandeur, c'est déterminer combien de fois elle contient l'unité. Il faut donc un étalon : un objet ou un phénomène qui réalise l'unité. Pendant longtemps, l'étalon du kilogramme était un cylindre de métal gardé près de Paris. Aujourd'hui, c'est une constante de la nature (voir la sous-page sur le SI actuel).

Entre l'étalon et ta balance de cuisine, il y a une chaîne d'étalonnage : chaque instrument est comparé à un instrument plus précis, jusqu'à la définition elle-même. C'est la traçabilité.

Chiffres significatifs

Le nombre de chiffres significatifs indique la précision. Règles pratiques :

• Les zéros de tête ne comptent pas : 0,0250 a trois chiffres significatifs (2, 5 et le 0 final).
• Les zéros finaux après la virgule comptent : 2,50 m affirme le centimètre.
• Pour « 1500 m », c'est ambigu. La notation scientifique lève l'ambiguïté : \(1{,}5 \cdot 10^{3}\) m (deux chiffres) ou \(1{,}500 \cdot 10^{3}\) m (quatre).
• Produit et quotient : on garde le nombre de chiffres de la donnée la moins précise.

Numerical value and unit

A physical quantity \(G\) is written as the product of a numerical value \(\{G\}\) and a unit \([G]\):

The quantity does not depend on the chosen unit. Only the numerical value changes: \(1.5\ \text{m} = 150\ \text{cm} = 1500\ \text{mm}\). When the unit gets 100 times smaller, the number gets 100 times larger. The product stays the same.

This is what makes clean conversions possible: replace the unit by its value in the other unit, then calculate. For example, \(1\ \text{km/h} = \dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}\).

Measuring means comparing with a standard

Measuring a quantity means finding how many times it contains the unit. So we need a standard: an object or a phenomenon that realises the unit. For a long time the kilogram standard was a metal cylinder kept near Paris. Today it is a constant of nature (see the sub-page on the current SI).

Between the standard and your kitchen scales there is a calibration chain: each instrument is compared with a more precise one, all the way to the definition itself. This is traceability.

Significant figures

The number of significant figures shows the precision. Practical rules:

• Leading zeros do not count: 0.0250 has three significant figures (2, 5 and the final 0).
• Trailing zeros after the decimal point count: 2.50 m claims the centimetre.
• “1500 m” is ambiguous. Scientific notation removes the ambiguity: \(1.5 \times 10^{3}\) m (two figures) or \(1.500 \times 10^{3}\) m (four).
• Product and quotient: keep the number of figures of the least precise data.

Le chaos des unités d'Ancien Régime

Avant 1790, une même unité pouvait changer d'une ville à l'autre. À Paris, la toise valait six pieds du roi, environ 1,949 m, et la livre (poids de marc) environ 489,5 g. Ces valeurs n'étaient pas celles de Lyon ou de Genève. Le commerce, l'impôt et la science en souffraient. En 1790, l'Assemblée constituante charge l'Académie des sciences de fonder un système nouveau.

Le choix du méridien

Deux étalons naturels sont discutés. Le premier est la longueur du pendule qui bat la seconde (aller simple en 1 s, donc période 2 s). Il a l'avantage d'être facile à reproduire. Mais il dépend de \(g\), qui varie avec la latitude. L'Académie choisit en 1791 le second : un dix-millionième du quart du méridien terrestre.

Delambre (au nord, de Dunkerque à Rodez) et Méchain (au sud, de Rodez à Barcelone) mesurent l'arc entre 1792 et 1798, en pleine Révolution, par triangulation : une chaîne de triangles dont on mesure les angles, avec une seule longueur mesurée directement au sol. Le résultat donne en 1799 le mètre des Archives, une règle de platine.

Le kilogramme et l'eau

La loi de 1795 définit le gramme comme la masse d'un centimètre cube d'eau pure. Pour un étalon pratique, on prend 1000 fois plus : le kilogramme, masse d'un décimètre cube d'eau. Lefèvre-Gineau et Fabbroni le mesurent en pesant un cylindre de laiton immergé, en corrigeant la température : l'eau est la plus dense vers 4 °C. En 1799, un cylindre de platine de même masse devient le kilogramme des Archives.

Ce choix a une conséquence pratique très utile : la masse volumique de l'eau vaut \(\rho_{\text{eau}} = 1\ \text{kg/L} = 1000\ \text{kg/m}^{3} = 1\ \text{g/cm}^{3}\). Une baignoire de 150 L contient 150 kg d'eau.

Les prototypes internationaux (1889)

En 1875, dix-sept États signent la Convention du Mètre et créent le Bureau international des poids et mesures (BIPM), à Sèvres près de Paris. En 1889, on adopte de nouveaux prototypes en platine iridié (90 % de platine, 10 % d'iridium), très stable : une règle de section en X pour le mètre, et un cylindre de 39 mm de haut et de diamètre pour le kilogramme, le « grand K ». Des copies sont distribuées aux pays signataires.

La seconde et la Terre qui ralentit

La seconde est longtemps restée la 86 400^e partie du jour solaire moyen. Mais la rotation de la Terre n'est pas parfaitement régulière et ralentit lentement (les marées freinent la Terre). Une unité fondée sur elle varie. Ce défaut mènera à la seconde atomique (sous-page suivante).

The chaos of pre-revolutionary units

Before 1790, the same unit could change from one town to the next. In Paris the toise was six king's feet, about 1.949 m, and the pound (poids de marc) about 489.5 g. These were not the values in Lyon or Geneva. Trade, taxation and science suffered. In 1790 the Constituent Assembly asked the Academy of Sciences to found a new system.

Choosing the meridian

Two natural standards were debated. The first was the length of the seconds pendulum (one swing in 1 s, so a period of 2 s). It had the advantage of being easy to reproduce. But it depends on \(g\), which varies with latitude. In 1791 the Academy chose the second: one ten-millionth of a quarter of the Earth's meridian.

Delambre (in the north, Dunkirk to Rodez) and Méchain (in the south, Rodez to Barcelona) measured the arc between 1792 and 1798, in the middle of the Revolution, by triangulation: a chain of triangles whose angles are measured, with only one length measured directly on the ground. The result gave the Metre of the Archives in 1799, a platinum bar.

The kilogram and water

The 1795 law defined the gram as the mass of one cubic centimetre of pure water. For a practical standard, 1000 times more was taken: the kilogram, the mass of one cubic decimetre of water. Lefèvre-Gineau and Fabbroni measured it by weighing an immersed brass cylinder, correcting for temperature: water is densest at about 4 °C. In 1799 a platinum cylinder of the same mass became the Kilogram of the Archives.

This choice has a very useful practical consequence: the density of water is \(\rho_{\text{water}} = 1\ \text{kg/L} = 1000\ \text{kg/m}^{3} = 1\ \text{g/cm}^{3}\). A 150 L bathtub holds 150 kg of water.

The international prototypes (1889)

In 1875, seventeen states signed the Metre Convention and created the International Bureau of Weights and Measures (BIPM), in Sèvres near Paris. In 1889 new prototypes were adopted, made of platinum-iridium (90 % platinum, 10 % iridium), which is very stable: a bar with an X-shaped cross-section for the metre, and a cylinder 39 mm high and wide for the kilogram, the “Big K”. Copies were sent to the signatory countries.

The second and the slowing Earth

For a long time the second remained the 86,400th part of the mean solar day. But the Earth's rotation is not perfectly regular and slowly slows down (tides brake the Earth). A unit based on it varies. This flaw led to the atomic second (next sub-page).

Pourquoi abandonner le grand K ?

Un étalon matériel a trois défauts. Il est unique : toute mesure de masse précise devait remonter, par comparaisons successives, à un cylindre gardé à Sèvres. Il peut changer : contamination de surface, nettoyage, usure. Enfin, sa dérive est indétectable par définition. Lors des vérifications de 1889 à 1989, les copies nationales se sont écartées du prototype d'environ 50 µg, soit \(5 \cdot 10^{-8}\) en relatif.

Une constante fondamentale, elle, ne s'use pas et peut être utilisée dans n'importe quel laboratoire équipé. C'est l'idée de la révision de 2019 : fixer la valeur numérique de constantes et en déduire les unités.

Les sept constantes définissantes

La seconde, le mètre, le kilogramme

La seconde se lit directement sur \(\Delta\nu_{\text{Cs}}\) : \(1\ \text{s} = 9\,192\,631\,770 / \Delta\nu_{\text{Cs}}\). Cette définition date de 1967. Elle a remplacé une seconde astronomique trop instable.

Le mètre se déduit de \(c\) et de la seconde : \(1\ \text{m} = \dfrac{c}{299\,792\,458}\cdot 1\ \text{s}\). Avant 1983, il était défini (depuis 1960) par une longueur d'onde du krypton 86, et avant encore par le prototype de 1889.

Le kilogramme se déduit de \(h\), du mètre et de la seconde. L'unité de \(h\) est le J·s, soit kg·m²/s. Donc

Cela paraît abstrait. Mais la valeur de \(h\) a été choisie pour que le nouveau kilogramme soit égal, à mieux que \(10^{-8}\) près, à l'ancien. Ta balance de cuisine n'a rien remarqué.

Les autres unités de base, en bref

• Ampère (A), courant : fixé par \(e\). Un courant de 1 A transporte \(1/e \approx 6{,}24 \cdot 10^{18}\) charges élémentaires par seconde.
• Kelvin (K), température : fixé par \(k\), qui relie température et énergie d'agitation.
• Mole (mol), quantité de matière : exactement \(6{,}022\,140\,76 \cdot 10^{23}\) entités.
• Candela (cd), intensité lumineuse : fixée par \(K_{\text{cd}}\).

Why drop the Big K?

A material standard has three flaws. It is unique: every precise mass measurement had to trace back, through successive comparisons, to one cylinder kept in Sèvres. It can change: surface contamination, cleaning, wear. Finally, its drift is undetectable by definition. In the checks from 1889 to 1989, the national copies drifted from the prototype by about 50 µg, or \(5 \times 10^{-8}\) in relative terms.

A fundamental constant does not wear out and can be used in any suitably equipped laboratory. That is the idea of the 2019 revision: fix the numerical values of constants and derive the units from them.

The seven defining constants

The second, the metre, the kilogram

The second is read directly from \(\Delta\nu_{\text{Cs}}\): \(1\ \text{s} = 9\,192\,631\,770 / \Delta\nu_{\text{Cs}}\). This definition dates from 1967. It replaced an astronomical second that was too unstable.

The metre follows from \(c\) and the second: \(1\ \text{m} = \dfrac{c}{299\,792\,458}\cdot 1\ \text{s}\). Before 1983 it was defined (from 1960) by a wavelength of krypton-86, and before that by the 1889 prototype.

The kilogram follows from \(h\), the metre and the second. The unit of \(h\) is J·s, that is kg·m²/s. So

This looks abstract. But the value of \(h\) was chosen so that the new kilogram equals the old one to better than \(10^{-8}\). Your kitchen scales noticed nothing.

The other base units, briefly

• Ampere (A), current: fixed by \(e\). A current of 1 A carries \(1/e \approx 6.24 \times 10^{18}\) elementary charges per second.
• Kelvin (K), temperature: fixed by \(k\), which links temperature and thermal energy.
• Mole (mol), amount of substance: exactly \(6.022\,140\,76 \times 10^{23}\) entities.
• Candela (cd), luminous intensity: fixed by \(K_{\text{cd}}\).

Unités de base et unités dérivées

Le SI compte sept unités de base. La mécanique n'en utilise que trois : m, kg, s. Toutes les autres unités mécaniques sont des produits de puissances de ces trois-là. Certaines ont reçu un nom propre en hommage à un savant : newton, joule, watt, pascal.

Le newton : définition et intuition

La deuxième loi de Newton (chapitre Dynamique) s'écrit \(\sum \vec F = m \vec a\). Elle sert à définir l'unité de force :

Un newton est la force qui, appliquée seule à 1 kg, augmente sa vitesse de 1 m/s chaque seconde.

Deux repères pour la main :

• Le poids d'un objet de 100 g vaut \(0{,}100 \cdot 9{,}81 = 0{,}981\ \text{N}\), presque 1 N. Une tablette de chocolat, une petite pomme.
• Le poids de 1 kg vaut 9,81 N, environ 10 N. Le poids d'un adulte de 70 kg vaut environ 690 N.

De même, 1 J est à peu près l'énergie pour soulever une tablette de 100 g de 1 m (\(0{,}98\ \text{J}\)). Et 1 W, c'est le faire en une seconde.

Les préfixes

Le préfixe fait partie de l'unité. Une puissance s'applique donc au préfixe : \(1\ \text{km}^{2} = (10^{3}\ \text{m})^{2} = 10^{6}\ \text{m}^{2}\), et \(1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}\). Exception historique : l'unité de base de masse, le kilogramme, porte déjà un préfixe. On dit milligramme, pas « microkilogramme ».

Convertir sans se tromper

Méthode sûre : on remplace chaque unité par sa valeur en unités SI, puis on calcule. Les fractions d'unités se simplifient comme des nombres.

Base units and derived units

The SI has seven base units. Mechanics uses only three: m, kg, s. Every other mechanical unit is a product of powers of these three. Some were given a proper name in honour of a scientist: newton, joule, watt, pascal.

The newton: definition and intuition

Newton's second law (Dynamics chapter) reads \(\sum \vec F = m \vec a\). It is used to define the unit of force:

One newton is the force that, acting alone on 1 kg, increases its speed by 1 m/s every second.

Two reference points for your hand:

• The weight of a 100 g object is \(0.100 \times 9.81 = 0.981\ \text{N}\), almost 1 N. A chocolate bar, a small apple.
• The weight of 1 kg is 9.81 N, about 10 N. The weight of a 70 kg adult is about 690 N.

Likewise, 1 J is roughly the energy to lift a 100 g bar by 1 m (\(0.98\ \text{J}\)). And 1 W is doing it in one second.

Prefixes

The prefix is part of the unit. So a power applies to the prefix too: \(1\ \text{km}^{2} = (10^{3}\ \text{m})^{2} = 10^{6}\ \text{m}^{2}\), and \(1\ \text{cm}^{3} = 10^{-6}\ \text{m}^{3}\). Historical exception: the base unit of mass, the kilogram, already carries a prefix. We say milligram, not “microkilogram”.

Converting without mistakes

Safe method: replace each unit by its value in SI units, then calculate. Fractions of units simplify like numbers.

Pourquoi la notation scientifique

La physique manipule des nombres immenses et minuscules : la masse du Soleil, \(1{,}99 \cdot 10^{30}\) kg ; celle d'un électron, \(9{,}11 \cdot 10^{-31}\) kg. La notation \(a \cdot 10^{n}\) (\(1 \le a < 10\)) a trois avantages. Elle est compacte. Elle montre d'un coup d'œil l'ordre de grandeur. Elle affiche clairement les chiffres significatifs.

Quelques ordres de grandeur à connaître

Estimer comme Fermi

Enrico Fermi aimait poser des questions comme : « Combien d'accordeurs de pianos à Chicago ? ». On ne connaît pas la réponse, mais on découpe le problème en facteurs que l'on sait estimer. Les erreurs sur chaque facteur se compensent souvent en partie. On obtient en général le bon ordre de grandeur.

Why scientific notation

Physics handles huge and tiny numbers: the mass of the Sun, \(1.99 \times 10^{30}\) kg; that of an electron, \(9.11 \times 10^{-31}\) kg. The notation \(a \times 10^{n}\) (\(1 \le a < 10\)) has three advantages. It is compact. It shows the order of magnitude at a glance. It clearly displays the significant figures.

Some orders of magnitude to know

Estimating like Fermi

Enrico Fermi liked to ask questions such as: “How many piano tuners are there in Chicago?”. Nobody knows the answer, but you split the problem into factors you can estimate. The errors on the factors often partly cancel. You usually get the right order of magnitude.

Dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur dit de quelles grandeurs de base elle est faite, sans se soucier de l'unité choisie. En mécanique, trois dimensions suffisent : longueur \(\mathsf{L}\), masse \(\mathsf{M}\), temps \(\mathsf{T}\). On note \([x]\) la dimension de \(x\).

Règle d'or : l'homogénéité

On ne peut additionner, soustraire ou comparer que des grandeurs de même dimension. Une formule juste a la même dimension des deux côtés du signe égal. Les arguments de \(\sin\), \(\exp\), \(\ln\) doivent être sans dimension.

Deviner une loi : la période du pendule

Supposons \(T = k\, \ell^{a} m^{b} g^{c}\), avec \(k\) un nombre sans dimension. On impose que les deux côtés aient la même dimension.

Dimension of a quantity

The dimension of a quantity says which base quantities it is made of, regardless of the chosen unit. In mechanics three dimensions suffice: length \(\mathsf{L}\), mass \(\mathsf{M}\), time \(\mathsf{T}\). We write \([x]\) for the dimension of \(x\).

Golden rule: homogeneity

You can only add, subtract or compare quantities of the same dimension. A correct formula has the same dimension on both sides of the equals sign. The arguments of \(\sin\), \(\exp\), \(\ln\) must be dimensionless.

Guessing a law: the period of a pendulum

Suppose \(T = k\, \ell^{a} m^{b} g^{c}\), with \(k\) a dimensionless number. We require both sides to have the same dimension.

La statique est la partie de la mécanique qui étudie l'équilibre. Elle est plus ancienne que la dynamique : Archimède formule la loi du levier vers 250 av. J.-C., près de deux mille ans avant Newton. Elle reste au cœur du génie civil, de la biomécanique et de la conception de toute machine.

Le chapitre suit une progression en deux temps. On traite d'abord l'objet comme un point : seules comptent la somme des forces et la condition \(\sum \vec F = \vec 0\). Puis on le traite comme un solide qui peut tourner : il faut alors ajouter la condition sur les moments, \(\sum M = 0\).

Prérequis : trigonométrie dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente), vecteurs du plan. Aux niveaux avancés : dérivée, intégrale simple, fonctions hyperboliques pour la chaînette.

Statics is the part of mechanics that studies equilibrium. It is older than dynamics: Archimedes stated the law of the lever around 250 BC, almost two thousand years before Newton. It remains at the heart of civil engineering, biomechanics and the design of every machine.

The chapter has two stages. First the object is treated as a point: only the sum of the forces matters, with the condition \(\sum \vec F = \vec 0\). Then it is treated as a rigid body that can turn: we must add the condition on moments, \(\sum M = 0\).

Prerequisites: right-triangle trigonometry (sine, cosine, tangent), plane vectors. At advanced levels: derivatives, simple integrals, hyperbolic functions for the catenary.

Une force modélise une interaction

En mécanique, une force est le modèle d'une action exercée par un objet sur un autre. Le mot « sur » est essentiel. Il y a toujours un auteur et un receveur. On écrit par exemple \(\vec F_{\text{Terre}\to\text{pomme}}\) pour l'attraction de la Terre sur une pomme.

Une force ne se voit pas. On la reconnaît à ses effets : elle peut déformer un objet ou modifier son mouvement (le mettre en marche, le freiner, le dévier, le faire tourner). En statique, l'objet ne bouge pas : les effets des différentes forces se compensent exactement.

Une force est un vecteur

Deux forces de 10 N n'ont pas forcément le même effet. Tirer une caisse vers l'avant ou vers le haut, ce n'est pas pareil. Une force a donc une intensité et une orientation : c'est un vecteur \(\vec F\). Pour la décrire complètement, on donne :

• son point d'application ;
• sa droite d'action (sa direction) ;
• son sens ;
• son intensité \(F = \lVert\vec F\rVert\), en newtons.

Pour le moment, le point d'application sert surtout à dessiner. Il devient décisif quand l'objet peut tourner : pousser une porte près des charnières ou loin d'elles ne produit pas le même effet. C'est l'objet de la sous-page sur les moments.

Mesurer une force : le newton

L'unité SI de force est le newton (N). On la définira proprement avec la deuxième loi de Newton : \(1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2\). En pratique, on mesure une force avec un dynamomètre. C'est un ressort gradué. Son allongement est proportionnel à la force qui le tire (loi de Hooke, voir le chapitre Dynamique).

Forces de contact et forces à distance

On classe les forces en deux familles.

• Forces de contact : elles n'existent que s'il y a contact. La réaction d'un support, la tension d'un fil, le frottement, la force d'un ressort, la poussée d'Archimède, la résistance de l'air.
• Forces à distance : elles agissent sans contact. Le poids (gravitation), les forces électriques et magnétiques.

Méthode pour faire l'inventaire des forces sur un objet : on compte d'abord les forces à distance (en pratique le poids), puis on fait le tour de l'objet et on ajoute une force pour chaque contact. Rien d'autre ne peut agir.

Masse et poids

La masse \(m\) (en kg) mesure la quantité de matière et l'inertie. Elle ne dépend pas du lieu. Le poids \(\vec P\) est la force de pesanteur. Il est vertical, dirigé vers le bas, appliqué au centre de gravité. Son intensité vaut

\(g\) est l'intensité de la pesanteur, en N/kg : 9,81 N/kg en Suisse, 1,62 N/kg sur la Lune. D'où vient ce nombre, et pourquoi vaut-il aussi 9,81 m/s² ? On le découvre avec les expériences de Galilée au chapitre Dynamique.

Les forces vont par paires

Si A exerce une force sur B, alors B exerce sur A une force de même intensité, de même droite d'action et de sens opposé. C'est le principe des actions réciproques (3e loi de Newton). Les deux forces agissent sur des objets différents : elles ne se compensent jamais entre elles.

A force models an interaction

In mechanics, a force models an action exerted by one object on another. The word "on" is essential. There is always an author and a receiver. We write for instance \(\vec F_{\text{Earth}\to\text{apple}}\) for the Earth's pull on an apple.

A force cannot be seen. We recognise it by its effects: it can deform an object or change its motion (start it, slow it, deflect it, make it turn). In statics the object does not move: the effects of the various forces cancel exactly.

A force is a vector

Two 10 N forces do not necessarily have the same effect. Pulling a crate forwards or upwards is not the same thing. A force therefore has a magnitude and an orientation: it is a vector \(\vec F\). To describe it completely, we give:

• its point of application;
• its line of action;
• its direction along that line;
• its magnitude \(F = \lVert\vec F\rVert\), in newtons.

For now, the point of application mainly helps us draw. It becomes decisive when the object can turn: pushing a door near the hinges or far from them does not have the same effect. That is the topic of the page on moments.

Measuring a force: the newton

The SI unit of force is the newton (N). We will define it properly with Newton's second law: \(1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2\). In practice, a force is measured with a force meter (spring balance). It is a graduated spring. Its extension is proportional to the force pulling it (Hooke's law, see the Dynamics chapter).

Contact forces and forces at a distance

Forces fall into two families.

• Contact forces: they exist only when there is contact. The normal force of a support, the tension in a string, friction, a spring force, buoyancy, air resistance.
• Forces at a distance: they act without contact. Weight (gravity), electric and magnetic forces.

Method to list the forces on an object: first count the forces at a distance (in practice the weight), then go round the object and add one force for each contact. Nothing else can act.

Mass and weight

Mass \(m\) (in kg) measures the amount of matter and the inertia. It does not depend on the place. Weight \(\vec W\) is the gravitational force. It is vertical, pointing down, applied at the centre of gravity. Its magnitude is

\(g\) is the gravitational field strength, in N/kg: 9.81 N/kg in Switzerland, 1.62 N/kg on the Moon. Where does this number come from, and why is it also 9.81 m/s²? We find out with Galileo's experiments in the Dynamics chapter.

Forces come in pairs

If A exerts a force on B, then B exerts on A a force of the same magnitude, along the same line, in the opposite direction. This is Newton's third law. The two forces act on different objects: they never cancel each other.

La résultante : une addition de vecteurs

Quand plusieurs forces agissent sur un même point, leur effet d'ensemble est celui d'une force unique, la résultante :

C'est un fait expérimental, pas une évidence : les forces se composent comme des vecteurs. Stevin (vers 1586) l'a établi avec ses célèbres plans inclinés et ses chaînes de billes.

Graphiquement, on place les flèches bout à bout. La résultante va de la queue de la première à la pointe de la dernière. Pour deux forces, c'est la diagonale du parallélogramme qu'elles forment.

Conséquence : l'intensité de la résultante n'est pas la somme des intensités. Pour deux forces de 3 N et 4 N, \(R\) vaut entre 1 N (sens opposés) et 7 N (même sens). Elle vaut 5 N si elles sont perpendiculaires. Pour un angle \(\theta\) quelconque entre elles, la loi des cosinus donne

Calculer avec les composantes

Le dessin est utile pour comprendre, mais imprécis. Pour calculer, on décompose chaque force selon deux axes perpendiculaires \(x\) et \(y\). Si \(\alpha\) est l'angle entre \(\vec F\) et l'axe \(x\) :

Les composantes ont un signe : \(F_x < 0\) si la force pointe vers les \(x\) négatifs. Ensuite, on additionne axe par axe, comme des nombres :

Équilibre d'un point

Un objet assimilable à un point (un nœud, un anneau, un petit bloc) reste au repos, ou garde une vitesse constante, si et seulement si la résultante est nulle :

Une équation vectorielle donne deux équations de composantes : on peut trouver deux inconnues dans le plan. Graphiquement, les flèches mises bout à bout forment un polygone fermé : on revient au point de départ.

Méthode en quatre étapes, à appliquer systématiquement :

1. Isoler le système : le nœud, le bloc. Le dessiner seul.
2. Faire l'inventaire des forces qui agissent sur lui, et seulement sur lui.
3. Choisir des axes malins (souvent le long d'une force inconnue) et projeter.
4. Résoudre et vérifier les ordres de grandeur.

Tension et poulies

Un fil exerce une force de tension dirigée le long du fil, vers le fil (un fil tire, il ne pousse jamais). Un fil idéal (sans masse, inextensible) a la même tension en tout point. Une poulie idéale (sans masse, sans frottement) ne change que la direction du fil, pas sa tension. C'est ce qui permet, dans la simulation, d'appliquer au nœud une force égale au poids d'une masse accrochée de l'autre côté de la poulie.

The resultant: adding vectors

When several forces act on the same point, their overall effect is that of a single force, the resultant:

This is an experimental fact, not something obvious: forces combine like vectors. Stevin (around 1586) established it with his famous inclined planes and chains of balls.

Graphically, place the arrows tip to tail. The resultant goes from the tail of the first to the tip of the last. For two forces, it is the diagonal of the parallelogram they form.

Consequence: the magnitude of the resultant is not the sum of the magnitudes. For forces of 3 N and 4 N, \(R\) lies between 1 N (opposite) and 7 N (same direction). It is 5 N if they are perpendicular. For any angle \(\theta\) between them, the cosine rule gives

Computing with components

A drawing helps understanding, but it is imprecise. To compute, resolve each force along two perpendicular axes \(x\) and \(y\). If \(\alpha\) is the angle between \(\vec F\) and the \(x\) axis:

Components carry a sign: \(F_x < 0\) if the force points towards negative \(x\). Then add axis by axis, like numbers:

Equilibrium of a point

An object that can be treated as a point (a knot, a ring, a small block) stays at rest, or keeps a constant velocity, if and only if the resultant is zero:

One vector equation gives two component equations: we can find two unknowns in the plane. Graphically, the arrows placed tip to tail form a closed polygon: we come back to the starting point.

Four-step method, to apply every time:

1. Isolate the system: the knot, the block. Draw it on its own.
2. List the forces acting on it, and only on it.
3. Choose clever axes (often along an unknown force) and resolve.
4. Solve and check the orders of magnitude.

Tension and pulleys

A string exerts a tension force along the string, towards the string (a string pulls, it never pushes). An ideal string (massless, inextensible) has the same tension everywhere. An ideal pulley (massless, frictionless) only changes the direction of the string, not its tension. That is how, in the simulation, the knot feels a force equal to the weight of a mass hanging on the other side of the pulley.

Un troisième axe

Jusqu'ici, on a dessiné les forces sur une feuille. Beaucoup de situations réelles ne tiennent pas dans un plan : un lustre tenu par trois chaînes, un mât retenu par des haubans, une grue dont la flèche tourne. Il faut alors un repère à trois axes perpendiculaires \(x\), \(y\), \(z\), qui se coupent en une origine \(O\).

On choisit toujours un repère direct : en tournant de \(x\) vers \(y\) avec les doigts de la main droite, le pouce indique \(z\). Ce choix compte dès qu'on calcule des moments (produit vectoriel).

Le vecteur colonne

Une force dans l'espace est entièrement décrite par ses trois composantes. On les écrit en colonne, dans l'ordre \(x\), \(y\), \(z\) :

Les vecteurs \(\vec e_x\), \(\vec e_y\), \(\vec e_z\) sont les vecteurs unitaires des axes. Une composante est un nombre avec un signe : \(F_z < 0\) veut dire que la force pointe vers le bas. L'intensité découle de Pythagore appliqué deux fois. D'abord dans le plan horizontal, \(\sqrt{F_x^2 + F_y^2}\), puis avec la hauteur :

Additionner des forces, c'est additionner ligne par ligne. La résultante a pour composantes la somme des composantes :

Équilibre d'un point dans l'espace

Un point est en équilibre si la somme des forces est le vecteur nul. Une égalité de colonnes, c'est trois égalités de nombres :

Trois équations permettent de trouver trois inconnues. C'est exactement le cas d'une charge tenue par trois câbles : les trois tensions sont inconnues, leurs directions sont connues (celles des câbles).

Pourquoi trois câbles ? Et où les placer ?

Avec deux câbles, les deux tensions et le poids doivent être dans un même plan vertical. Le moindre souffle hors de ce plan fait balancer la charge. Avec trois câbles qui ne sont pas dans un même plan, on peut équilibrer une force extérieure dans n'importe quelle direction.

Un câble ne peut que tirer : sa tension doit être positive. Vu d'en haut, les trois ancrages forment un triangle. La charge tient seulement si la verticale de la charge passe à l'intérieur de ce triangle. Si les trois ancrages sont du même côté, l'un des câbles devrait pousser : impossible.

A third axis

So far, forces were drawn on a sheet of paper. Many real situations do not fit in a plane: a chandelier held by three chains, a mast held by guy wires, a crane whose jib swings round. You then need a frame with three perpendicular axes \(x\), \(y\), \(z\), meeting at an origin \(O\).

We always choose a right-handed frame: curling the fingers of the right hand from \(x\) towards \(y\), the thumb points along \(z\). This choice matters as soon as moments (cross products) are computed.

The column vector

A force in space is fully described by its three components. They are written as a column, in the order \(x\), \(y\), \(z\):

The vectors \(\vec e_x\), \(\vec e_y\), \(\vec e_z\) are the unit vectors of the axes. A component is a signed number: \(F_z < 0\) means the force points down. The magnitude follows from Pythagoras applied twice. First in the horizontal plane, \(\sqrt{F_x^2 + F_y^2}\), then with the height:

Adding forces means adding row by row. The resultant's components are the sums of the components:

Equilibrium of a point in space

A point is in equilibrium if the forces add up to the zero vector. An equality of columns is three equalities of numbers:

Three equations can determine three unknowns. That is exactly the case of a load held by three cables: the three tensions are unknown, their directions are known (along the cables).

Why three cables? And where to put them?

With two cables, both tensions and the weight must lie in the same vertical plane. The slightest push out of that plane makes the load swing. With three cables not in one plane, an external force in any direction can be balanced.

A cable can only pull: its tension must be positive. Seen from above, the three anchors form a triangle. The load hangs still only if the vertical through the load passes inside that triangle. If the three anchors are on the same side, one cable would have to push: impossible.

La réaction normale, une force qui s'ajuste

Un support rigide exerce sur l'objet posé une force perpendiculaire à la surface de contact : la réaction normale \(\vec N\). Elle n'a pas de formule propre. Elle prend exactement la valeur nécessaire pour que l'objet ne s'enfonce pas dans le support. On la trouve donc toujours avec les équations d'équilibre.

Elle vaut \(m g\) seulement dans le cas le plus simple : support horizontal, rien d'autre qui appuie ou soulève. Si tu appuies sur une caisse, \(N\) augmente. Si tu la tires vers le haut avec une corde inclinée, \(N\) diminue. Sur une pente, \(N = m g\cos\alpha\). Un objet quitte son support quand \(N\) devient nulle : c'est le critère de décollage.

Le frottement statique

Pousse doucement une lourde armoire : elle ne bouge pas. Le sol exerce une force parallèle à la surface, opposée à ta poussée, de même intensité : le frottement statique \(\vec f\). Pousse un peu plus fort : il augmente aussi. Il s'ajuste, comme \(N\), pour empêcher le glissement. Mais il a une limite :

\(\mu_s\) est le coefficient de frottement statique. Quand la force à compenser dépasse \(\mu_s N\), l'objet se met à glisser.

Le frottement cinétique

Pendant le glissement, le frottement est à peu près constant, opposé à la vitesse de glissement :

C'est pour cela qu'il est plus dur de démarrer une caisse que de la faire avancer. Le graphique ci-dessous résume le comportement.

Valeurs indicatives : elles varient beaucoup avec l'état des surfaces, l'humidité, la température.

Le plan incliné

Un bloc de masse \(m\) est posé sur un plan incliné d'un angle \(\alpha\). On choisit des axes adaptés : \(x\) le long de la pente, \(y\) perpendiculaire. \(\vec N\) et \(\vec f\) sont alors sur les axes. Seul le poids doit être décomposé.

Selon \(y\), il n'y a pas de mouvement : \(N = m g\cos\alpha\). Selon \(x\), le frottement doit compenser \(P_\parallel\) : \(f = m g\sin\alpha\). Le bloc tient tant que ce frottement nécessaire ne dépasse pas le maximum :

La masse a disparu ! L'angle limite ne dépend que des matériaux :

C'est une méthode de mesure très simple : on incline une planche jusqu'au glissement et on lit l'angle au rapporteur. Au-delà, le bloc glisse avec l'accélération \(a = g(\sin\alpha - \mu_c\cos\alpha)\), qui elle non plus ne dépend pas de la masse.

The normal force, a force that adjusts

A rigid support exerts on the object resting on it a force perpendicular to the contact surface: the normal force \(\vec N\). It has no formula of its own. It takes exactly the value needed so that the object does not sink into the support. We therefore always find it from the equilibrium equations.

It equals \(m g\) only in the simplest case: horizontal support, nothing else pressing or lifting. If you press down on a crate, \(N\) increases. If you pull it up with a slanted rope, \(N\) decreases. On a slope, \(N = m g\cos\alpha\). An object leaves its support when \(N\) becomes zero: that is the lift-off criterion.

Static friction

Push a heavy wardrobe gently: it does not move. The floor exerts a force parallel to the surface, opposite to your push, of equal magnitude: static friction \(\vec f\). Push a bit harder: it grows too. Like \(N\), it adjusts to prevent sliding. But it has a limit:

\(\mu_s\) is the coefficient of static friction. When the force to be balanced exceeds \(\mu_s N\), the object starts to slide.

Kinetic friction

While sliding, friction is roughly constant and opposite to the sliding velocity:

That is why it is harder to start a crate than to keep it moving. The graph below sums up the behaviour.

Indicative values: they vary a lot with surface condition, humidity, temperature.

The inclined plane

A block of mass \(m\) rests on a plane inclined at angle \(\alpha\). Choose suitable axes: \(x\) along the slope, \(y\) perpendicular. \(\vec N\) and \(\vec f\) then lie on the axes. Only the weight has to be resolved.

Along \(y\) there is no motion: \(N = m g\cos\alpha\). Along \(x\), friction must balance \(W_\parallel\): \(f = m g\sin\alpha\). The block holds as long as this required friction does not exceed the maximum:

The mass has vanished! The limiting angle depends only on the materials:

This is a very simple way to measure \(\mu_s\): tilt a plank until sliding starts and read the angle with a protractor. Beyond it, the block slides with acceleration \(a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)\), which does not depend on the mass either.

Pourquoi la somme des forces ne suffit plus

Prends un livre posé sur une table. Pousse-le d'un doigt vers la droite sur un coin, et tire-le d'un autre doigt vers la gauche sur le coin opposé, avec la même force. La somme des forces est nulle. Pourtant le livre tourne ! Pour un objet étendu, il faut une deuxième grandeur : le moment, qui mesure l'effet de rotation.

Le moment d'une force

Le moment d'une force \(\vec F\) par rapport à un point (ou un axe) \(O\) vaut

où \(d\) est le bras de levier : la distance perpendiculaire entre \(O\) et la droite d'action de la force. Unité : le newton-mètre (N·m). On choisit un sens de rotation positif (par exemple anti-horaire) et on compte négativement les moments de sens contraire.

Deux écritures équivalentes, selon ce qui est connu :

On peut lire \(F\sin\theta\) comme la composante de la force perpendiculaire à la clé : seule cette composante fait tourner. La composante le long de la clé tire sur l'axe, sans effet de rotation. Une force dont la droite d'action passe par \(O\) a un moment nul.

Le levier

Un levier est une barre rigide qui peut tourner autour d'un point fixe, le point d'appui (ou pivot). La réaction du pivot passe par \(O\) : son moment est nul. À l'équilibre, les moments des autres forces se compensent :

On distingue trois genres de leviers selon la position du pivot. Inter-appui : le pivot est entre la force et la charge (bascule, ciseaux, pince). Inter-résistant : la charge est entre le pivot et la force (brouette, casse-noix, décapsuleur). Inter-moteur : la force est entre le pivot et la charge (pince à épiler, avant-bras soulevant un objet). Ce dernier demande plus de force que la charge, mais il amplifie le déplacement et la vitesse.

Équilibre d'un solide

Un solide est en équilibre si deux conditions sont réunies :

La première empêche le centre de masse d'accélérer. La seconde empêche la rotation. Si la somme des forces est nulle, la somme des moments est la même par rapport à n'importe quel point. D'où l'astuce décisive : on calcule les moments par rapport au point où agit une force inconnue. Son moment est nul, elle disparaît de l'équation.

Dans le plan, on dispose de trois équations (deux pour les forces, une pour les moments) : on peut trouver trois inconnues.

Le centre de gravité

Le poids d'un solide est réparti sur toute sa matière. Pour l'équilibre et la rotation, tout se passe comme si le poids total était appliqué en un point unique, le centre de gravité G. Pour des masses ponctuelles le long d'un axe :

C'est une moyenne des positions, pondérée par les masses. Pour un objet homogène et symétrique, G est au centre de symétrie. G n'est pas forcément dans la matière : celui d'un anneau est en son centre, dans le vide.

Why the sum of forces is no longer enough

Take a book lying on a table. Push one corner to the right with one finger, and pull the opposite corner to the left with another, with the same force. The sum of the forces is zero. Yet the book turns! For an extended object we need a second quantity: the moment, which measures the turning effect.

The moment of a force

The moment of a force \(\vec F\) about a point (or axis) \(O\) is

where \(d\) is the lever arm: the perpendicular distance from \(O\) to the line of action of the force. Unit: the newton-metre (N·m). Choose a positive sense of rotation (for example anticlockwise) and count moments in the other sense as negative.

Two equivalent forms, depending on what is known:

\(F\sin\theta\) is the component of the force perpendicular to the spanner: only this component turns it. The component along the spanner pulls on the axis, with no turning effect. A force whose line of action passes through \(O\) has zero moment.

The lever

A lever is a rigid bar that can turn about a fixed point, the fulcrum (pivot). The pivot's reaction passes through \(O\): its moment is zero. At equilibrium, the moments of the other forces balance:

There are three classes of levers depending on where the pivot is. First class: the pivot is between the effort and the load (seesaw, scissors, pliers). Second class: the load is between the pivot and the effort (wheelbarrow, nutcracker, bottle opener). Third class: the effort is between the pivot and the load (tweezers, forearm lifting an object). The last one needs more force than the load, but it amplifies the displacement and the speed.

Equilibrium of a rigid body

A rigid body is in equilibrium when two conditions hold:

The first stops the centre of mass from accelerating. The second stops rotation. If the sum of the forces is zero, the sum of the moments is the same about any point. Hence the decisive trick: take moments about the point where an unknown force acts. Its moment is zero, so it drops out of the equation.

In the plane we have three equations (two for forces, one for moments): we can find three unknowns.

The centre of gravity

The weight of a body is spread over all its matter. For equilibrium and rotation, everything happens as if the total weight acted at a single point, the centre of gravity G. For point masses along an axis:

It is an average of the positions, weighted by the masses. For a uniform symmetric object, G is at the centre of symmetry. G need not lie inside the matter: a ring's is at its centre, in empty space.

Poulies et palans

Une poulie fixe ne réduit pas l'effort : elle change seulement la direction de la corde. Tirer vers le bas pour monter une charge est plus confortable, mais il faut toujours une force égale au poids.

Une poulie mobile est accrochée à la charge. Deux brins de corde la soutiennent. Chacun porte la tension \(T\), donc \(2T = m g\) : l'effort est divisé par deux. Un palan combine plusieurs poulies. Si \(n\) brins soutiennent la charge mobile :

Il n'y a pas de miracle. Pour monter la charge de \(h\), chaque brin porteur doit raccourcir de \(h\) : il faut tirer \(n\,h\) de corde. Le produit force × déplacement reste le même :

C'est la « règle d'or » de la mécanique, déjà connue de Héron d'Alexandrie : ce qu'on gagne en force, on le perd en déplacement. Elle annonce la notion de travail, qu'on étudie en Dynamique.

La potence : barre et câble

Une enseigne, un panier de basket mural, une grue à flèche : une barre horizontale articulée au mur, tenue au bout par un câble incliné. Au point où pend la charge, trois forces se rencontrent : le poids, la tension du câble, et la poussée de la barre. Une barre articulée à ses deux bouts, sans charge en son milieu, ne transmet qu'une force le long d'elle-même : elle est en compression ou en traction.

Renverser ou faire glisser ?

On pousse horizontalement une armoire haute, à une hauteur \(h\). Deux choses peuvent arriver : elle glisse, ou elle bascule autour de son coin avant. Elle bascule si le moment de la poussée autour du coin dépasse celui du poids, \(F\,h > m g\,\frac{b}{2}\) (\(b\) : largeur de la base). Elle glisse si \(F > \mu_s m g\). Elle bascule donc avant de glisser si

Pousser bas évite le basculement. C'est aussi pourquoi les camions chargés haut se renversent dans les virages, et pourquoi on charge le lourd en bas d'une étagère.